Considere uma semi-esfera de raio R com uma distribuição de carga com densidade volumétrica \rho(\vec{r}) dada por
\rho(\vec{r})=\rho_{0} \sin \theta \cos \varphi e^{-r / a} \quad(0<\theta<\pi / 2) \quad(0<\varphi<2 \pi)
então:
(a) Calcule o fluxo do campo elétrico por uma superfície esférica de raio 2 R centrada na origem.
(b) Calcule o momento de dipolo elétrico desta distribuição.
(c) Calcule o potencial e o campo elétrico para um ponto longe da origem.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma semi-esfera de raio R. Interpretação padrão: a região volumétrica com 0\le r\le R, 0<\theta<\pi/2 (meio superior) e 0\le\varphi<2\pi.
  • A densidade volumétrica de carga é
\rho(\vec r)=\rho_{0}\sin\theta\cos\varphi\,e^{-r/a}\quad(0<\theta<\pi/2,\;0<\varphi<2\pi).
O que se pede:
(a) O fluxo do campo elétrico por uma superfície esférica de raio 2R centrada na origem (ou seja, \Phi=\oint_{S_{2R}}\vec E\cdot d\vec A).
(b) O momento de dipolo elétrico desta distribuição, isto é \vec p=\int \vec r'\,\rho(\vec r')\,dV'.
(c) O potencial e o campo elétrico para um ponto longe da origem (anda a ordem dominante para grandes distâncias).
Informações úteis que vamos usar (serão detalhadas ao longo da resolução):
  • Elemento de volume em coordenadas esféricas: dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
  • Lei de Gauss (forma integral): \displaystyle \oint_{S}\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}, onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície S.
  • Definição de momento dipolar: \displaystyle \vec p=\int \vec r'\,\rho(\vec r')\,dV'.
  • Expansão multipolar (para campo à distância): para r\gg tamanho da distribuição,
\Phi(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{Q}{r}+\frac{\vec p\cdot\hat r}{r^{2}}+\cdots\right),
e
\vec E(\vec r)=-\nabla\Phi(\vec r)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\big(3\hat r(\hat r\cdot\vec p)-\vec p\big)
quando o monopolo Q é zero (ou negligenciável).

Passo 2

(a) Calcular o fluxo pela esfera de raio 2R usando a Lei de Gauss: primeiro achar Q_{\text{int}}, a carga total contida na semi-esfera. Escrevemos o integral do volume:
Q=\int_{\text{semi-esfera}}\rho(\vec r)\,dV =\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\pi} \big(\rho_{0}\sin\theta\cos\varphi\,e^{-r/a}\big)\,r^{2}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr.
Reorganizando:
Q=\rho_{0}\int_{0}^{R} r^{2}e^{-r/a}\,dr\;\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi.
Agora observar a integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi=0.
Portanto Q=0 (independente das integrais em r e \theta). Pelo teorema de Gauss:
\Phi=\oint_{S_{2R}}\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}=0.
Comentário didático curto: a distribuição tem simetria angular tal que a parte positiva e negativa em \varphi se cancelam, resultando carga total nula — por isso o fluxo através de qualquer superfície esférica centrada na origem que envolva toda a distribuição é zero.

Passo 3

(b) Definição e estratégia para o momento de dipolo. O momento dipolar é o vetor
\vec p=\int \vec r'\,\rho(\vec r')\,dV'.
Em coordenadas cartesianas podemos escrever
\vec p=\hat x\,p_{x}+\hat y\,p_{y}+\hat z\,p_{z}, \qquad p_{i}=\int x_{i}\,\rho(\vec r)\,dV.
Expressar as componentes em coordenadas esféricas: x=r\sin\theta\cos\varphi, y=r\sin\theta\sin\varphi, z=r\cos\theta. Assim
p_{x}=\int r\sin\theta\cos\varphi\;\rho(\vec r)\;dV, \quad p_{y}=\int r\sin\theta\sin\varphi\;\rho(\vec r)\;dV, \quad p_{z}=\int r\cos\theta\;\rho(\vec r)\;dV.
Substituir \rho(\vec r)=\rho_{0}\sin\theta\cos\varphi\,e^{-r/a} e dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. Vamos analisar simetrias para ver quais componentes sobrevivem.

Passo 4

Análise das componentes por simetria e cálculo explícito.
  • p_{y}: integrando em \varphi temos fator \sin\varphi\cos\varphi. Especificamente
p_{y}=\rho_{0}\int_{0}^{R}r^{3}e^{-r/a}dr\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi.
Mas
\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin2\varphi\,d\varphi=0,
logo p_{y}=0.
  • p_{z}: contém fator \cos\varphi na densidade mas a componente z tem sem \cos\varphi adicional; assim a integral em \varphi é \int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi=0. Logo p_{z}=0.
  • p_{x}: aqui o integrando em \varphi tem \cos\varphi vindo de x=r\sin\theta\cos\varphi e outro \cos\varphi vindo de \rho, dando \cos^{2}\varphi, que não se anula. Portanto só p_{x} é não nula. Escrever explicitamente:
p_{x}=\rho_{0}\int_{0}^{R}r^{3}e^{-r/a}\,dr \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi.
Calcular as integrais angulares:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi=\pi,
porque \cos^{2}\varphi=(1+\cos2\varphi)/2 e a parte em \cos2\varphi integra zero no período. E
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta =\Big[-\cos\theta+\frac{\cos^{3}\theta}{3}\Big]_{0}^{\pi/2} =0-\big(-1+\tfrac{1}{3}\big)=\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Calcular a integral em r:
I_{r}\equiv\int_{0}^{R} r^{3}e^{-r/a}\,dr.
Fazer a mudança t=r/a, então r=a t e dr=a\,dt, assim
I_{r}=a^{4}\int_{0}^{R/a} t^{3}e^{-t}\,dt = a^{4}\,\gamma(4,R/a),
onde \gamma(4,u)=\int_{0}^{u}t^{3}e^{-t}dt é a função gama incompleta. A primitiva conhecida dá, para u=R/a,
\int_{0}^{u} t^{3}e^{-t}dt=3!\left(1-e^{-u}\Big(1+u+\tfrac{u^{2}}{2}+\tfrac{u^{3}}{6}\Big)\right).
Como 3!=6, obtemos
I_{r}=6a^{4}\left[1-e^{-R/a}\Big(1+\tfrac{R}{a}+\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{R}{a}\big)^{2}+\tfrac{1}{6}\big(\tfrac{R}{a}\big)^{3}\Big)\right].
Agora montar p_{x}:
p_{x}=\rho_{0}\,I_{r}\;\cdot\;\frac{2}{3}\;\cdot\;\pi = \rho_{0}\,\pi\frac{2}{3}\,I_{r}.
Substituindo I_{r}:
p_{x}=\rho_{0}\,\pi\frac{2}{3}\cdot 6a^{4}\Big[1-e^{-R/a}\Big(1+\tfrac{R}{a}+\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{R}{a}\big)^{2}+\tfrac{1}{6}\big(\tfrac{R}{a}\big)^{3}\Big)\Big].
Simplificar \frac{2}{3}\cdot 6=4, então
p_{x}=4\pi\rho_{0}a^{4}\left[1-e^{-R/a}\Big(1+\tfrac{R}{a}+\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{R}{a}\big)^{2}+\tfrac{1}{6}\big(\tfrac{R}{a}\big)^{3}\Big)\right].
Portanto o momento dipolar final é
\boxed{\vec p = p_{x}\,\hat x,\quad p_{x}=4\pi\rho_{0}a^{4}\left[1-e^{-R/a}\Big(1+\tfrac{R}{a}+\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{R}{a}\big)^{2}+\tfrac{1}{6}\big(\tfrac{R}{a}\big)^{3}\Big)\right].}
Breve interpretação: como a densidade é proporcional a \cos\varphi a distribuição tem um “deslocamento” ao longo do eixo x (direção \varphi=0), resultando num dipolo apontando para +x. As componentes y e z se anulam por simetria.

Passo 6

(c) Potencial e campo elétrico para um ponto longe da origem (expansão multipolar). Explicar a ideia: para r\equiv|\vec r|\gg R a potencial devido a uma distribuição localizada pode ser escrita como soma de termos em potências de 1/r: monopolo Q/r, dipolo \vec p\cdot\hat r/r^{2}, quadrupolo O(1/r^{3}) etc. Como já vimos Q=0, o termo dominante distante é o dipolar.
Assim, para r\gg R,
\Phi(\vec r)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\vec p\cdot\hat r}{r^{2}}.
Como \vec p=p_{x}\hat x e \hat r\cdot\hat x=\sin\theta\cos\varphi, fica
\Phi(\vec r)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p_{x}\sin\theta\cos\varphi}{r^{2}}.
O campo elétrico é \vec E=-\nabla\Phi. A forma vetorial clássica do campo dipolar é mais compacta:
\vec E(\vec r)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\Big(3\hat r(\hat r\cdot\vec p)-\vec p\Big).
Substituindo \vec p=p_{x}\hat x obtemos a expressão explícita
\vec E(\vec r)\approx\frac{p_{x}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\Big(3\sin\theta\cos\varphi\;\hat r-\hat x\Big).
Se for desejado, pode-se reescrever \hat x em termos das bases esféricas para obter componentes E_{r},E_{\theta},E_{\varphi}. Usando a identidade
\hat x=\sin\theta\cos\varphi\,\hat r+\cos\theta\cos\varphi\,\hat\theta-\sin\varphi\,\hat\varphi,
obtém-se
\vec E(\vec r)\approx\frac{p_{x}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\big(2\sin\theta\cos\varphi\,\hat r-\cos\theta\cos\varphi\,\hat\theta+\sin\varphi\,\hat\varphi\big).
Observação física: o potencial e campo caem como 1/r^{2} e 1/r^{3} respectivamente (comportamento característico de um dipolo), e a dependência angular é dada por \sin\theta\cos\varphi, refletindo a orientação ao longo de x.

Resposta

(a) \Phi=\displaystyle 0.
(b) \displaystyle \vec p= \hat x\,p_{x},\quad p_{x}=4\pi\rho_{0}a^{4}\left[1-e^{-R/a}\Big(1+\tfrac{R}{a}+\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{R}{a}\big)^{2}+\tfrac{1}{6}\big(\tfrac{R}{a}\big)^{3}\Big)\right].
(c) Para r\gg R:
\displaystyle \Phi(\vec r)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\vec p\cdot\hat r}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p_{x}\sin\theta\cos\varphi}{r^{2}},
\displaystyle \vec E(\vec r)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\big(3\hat r(\hat r\cdot\vec p)-\vec p\big) =\frac{p_{x}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\Big(3\sin\theta\cos\varphi\,\hat r-\hat x\Big),
com/ p_{x} dado em (b).

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