Considere uma semi-esfera de raio
com uma distribuição de carga com densidade volumétrica
dada por
então:
(a) Calcule o fluxo do campo elétrico por uma superfície esférica de raio
centrada na origem.
(b) Calcule o momento de dipolo elétrico desta distribuição.
(c) Calcule o potencial e o campo elétrico para um ponto longe da origem.
(a) Calcule o fluxo do campo elétrico por uma superfície esférica de raio
(b) Calcule o momento de dipolo elétrico desta distribuição.
(c) Calcule o potencial e o campo elétrico para um ponto longe da origem.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma semi-esfera de raio
. Interpretação padrão: a região volumétrica com , (meio superior) e . - A densidade volumétrica de carga é
O que se pede:
(a) O fluxo do campo elétrico por uma superfície esférica de raio centrada na origem (ou seja,
).
(b) O momento de dipolo elétrico desta distribuição, isto é .
(c) O potencial e o campo elétrico para um ponto longe da origem (anda a ordem dominante para grandes distâncias).
(a) O fluxo do campo elétrico por uma superfície esférica de raio
(b) O momento de dipolo elétrico desta distribuição, isto é
(c) O potencial e o campo elétrico para um ponto longe da origem (anda a ordem dominante para grandes distâncias).
Informações úteis que vamos usar (serão detalhadas ao longo da resolução):
- Elemento de volume em coordenadas esféricas:
. - Lei de Gauss (forma integral):
, onde é a carga total dentro da superfície . - Definição de momento dipolar:
. - Expansão multipolar (para campo à distância): para
tamanho da distribuição,
e
quando o monopolo
é zero (ou negligenciável).
Passo 2
(a) Calcular o fluxo pela esfera de raio
usando a Lei de Gauss: primeiro achar
, a carga total contida na semi-esfera. Escrevemos o integral do volume:
Reorganizando:
Agora observar a integral em
:
Portanto
(independente das integrais em
e
). Pelo teorema de Gauss:
Comentário didático curto: a distribuição tem simetria angular tal que a parte positiva e negativa em
se cancelam, resultando carga total nula — por isso o fluxo através de qualquer superfície esférica centrada na origem que envolva toda a distribuição é zero.
Passo 3
(b) Definição e estratégia para o momento de dipolo. O momento dipolar é o vetor
Em coordenadas cartesianas podemos escrever
Expressar as componentes em coordenadas esféricas:
,
,
. Assim
Substituir
e
. Vamos analisar simetrias para ver quais componentes sobrevivem.
Passo 4
Análise das componentes por simetria e cálculo explícito.
-
: integrando em temos fator . Especificamente
Mas
logo
.
-
: contém fator na densidade mas a componente tem sem adicional; assim a integral em é . Logo . -
: aqui o integrando em tem vindo de e outro vindo de , dando , que não se anula. Portanto só é não nula. Escrever explicitamente:
Calcular as integrais angulares:
porque
e a parte em
integra zero no período. E
Passo 5
Calcular a integral em
:
Fazer a mudança
, então
e
, assim
onde
é a função gama incompleta. A primitiva conhecida dá, para
,
Como
, obtemos
Agora montar
:
Substituindo
:
Simplificar
, então
Portanto o momento dipolar final é
Breve interpretação: como a densidade é proporcional a
a distribuição tem um “deslocamento” ao longo do eixo
(direção
), resultando num dipolo apontando para
. As componentes
e
se anulam por simetria.
Passo 6
(c) Potencial e campo elétrico para um ponto longe da origem (expansão multipolar). Explicar a ideia: para
a potencial devido a uma distribuição localizada pode ser escrita como soma de termos em potências de
: monopolo
, dipolo
, quadrupolo
etc. Como já vimos
, o termo dominante distante é o dipolar.
Assim, para
,
Como
e
, fica
O campo elétrico é
. A forma vetorial clássica do campo dipolar é mais compacta:
Substituindo
obtemos a expressão explícita
Se for desejado, pode-se reescrever
em termos das bases esféricas para obter componentes
. Usando a identidade
obtém-se
Observação física: o potencial e campo caem como
e
respectivamente (comportamento característico de um dipolo), e a dependência angular é dada por
, refletindo a orientação ao longo de
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para
:
com/
dado em (b).