Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade vetorial para um campo vetorial suficientemente suave
:
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
-
é um campo vetorial com derivadas parciais de segunda ordem contínuas (para poder permutar derivadas). - Os operadores usados são: gradiente
, divergência , rotacional e Laplaciano aplicado componente a componente.
Passo 2
Vamos escrever definições em forma componente (isso facilita a demonstração componente a componente).
- A divergência de
em componentes é . Aqui significa . - O gradiente de um escalar
tem componentes . - O rotacional (curl) tem componentes
, onde é o símbolo de Levi-Civita (mais abaixo explico). - O Laplaciano aplicado ao vetor é componente a componente:
(soma sobre ).
Observação sobre notação: será usada a convenção de soma de Einstein — índices repetidos implicam soma sobre
.
Passo 3
Apresento o símbolo de Levi-Civita e o delta de Kronecker, e uma identidade crucial.
- O símbolo de Levi-Civita
vale se é uma permutação par de , se for permutação ímpar, e se houver índices repetidos. - O delta de Kronecker
vale se e caso contrário. - Identidade útil (produto de dois
): para índices em três dimensões
Essa identidade é padrão e pode ser verificada explicitamente considerando casos ou usando propriedades determinantis; aqui vamos usá‑la diretamente.
Passo 4
Escrevo a componente
-ésima do lado esquerdo em notação com
:
Substituindo
, obtemos
Passo 5
Tire o fator
para dentro e use a identidade do produto de dois
:
Agora aplique
portanto
Passo 6
Use as propriedades do delta de Kronecker para simplificar as somas (ele identifica índices):
- No primeiro termo,
faz e , ficando . - No segundo termo,
faz e , ficando .
Então
Passo 7
Reescreva esses termos em notação de operadores:
-
. -
.
Portanto, para cada componente
,
Passo 8
Como a igualdade vale para cada componente
, concluímos a identidade vetorial na forma de vetor:
sob a hipótese padrão de que as derivadas parciais de segunda ordem de
são contínuas (isso garante que
).