Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \times \vec{u})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{u})-\nabla^{2} \vec{u}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade vetorial para um campo vetorial suficientemente suave \vec{u}(\vec{x}):
\vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \times \vec{u})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{u})-\nabla^{2} \vec{u}.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • \vec{u}(\vec{x}) é um campo vetorial com derivadas parciais de segunda ordem contínuas (para poder permutar derivadas).
  • Os operadores usados são: gradiente \vec{\nabla}(\cdot), divergência \vec{\nabla}\cdot(\cdot), rotacional \vec{\nabla}\times(\cdot) e Laplaciano \nabla^{2} aplicado componente a componente.

Passo 2

Vamos escrever definições em forma componente (isso facilita a demonstração componente a componente).
  • A divergência de \vec{u} em componentes é \vec{\nabla}\cdot\vec{u}=\partial_{j}u_{j}. Aqui \partial_{j} significa \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}.
  • O gradiente de um escalar f tem componentes (\vec{\nabla}f)_{i}=\partial_{i}f.
  • O rotacional (curl) tem componentes (\vec{\nabla}\times\vec{u})_{i}=\varepsilon_{ijk}\partial_{j}u_{k}, onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (mais abaixo explico).
  • O Laplaciano aplicado ao vetor é componente a componente: (\nabla^{2}\vec{u})_{i}=\partial_{j}\partial_{j}u_{i} (soma sobre j).
Observação sobre notação: será usada a convenção de soma de Einstein — índices repetidos implicam soma sobre 1,2,3.

Passo 3

Apresento o símbolo de Levi-Civita e o delta de Kronecker, e uma identidade crucial.
  • O símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} vale +1 se (i,j,k) é uma permutação par de (1,2,3), -1 se for permutação ímpar, e 0 se houver índices repetidos.
  • O delta de Kronecker \delta_{ij} vale 1 se i=j e 0 caso contrário.
  • Identidade útil (produto de dois \varepsilon): para índices em três dimensões
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
Essa identidade é padrão e pode ser verificada explicitamente considerando casos ou usando propriedades determinantis; aqui vamos usá‑la diretamente.

Passo 4

Escrevo a componente i-ésima do lado esquerdo em notação com \varepsilon:
\big(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{u})\big)_{i} =\varepsilon_{ijk}\partial_{j}\big((\vec{\nabla}\times\vec{u})_{k}\big).
Substituindo (\vec{\nabla}\times\vec{u})_{k}=\varepsilon_{klm}\partial_{l}u_{m}, obtemos
\big(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{u})\big)_{i} =\varepsilon_{ijk}\partial_{j}\big(\varepsilon_{klm}\partial_{l}u_{m}\big).

Passo 5

Tire o fator \varepsilon_{klm} para dentro e use a identidade do produto de dois \varepsilon:
\big(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{u})\big)_{i} =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}\,\partial_{j}\partial_{l}u_{m}.
Agora aplique
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl},
portanto
\big(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{u})\big)_{i} =(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\,\partial_{j}\partial_{l}u_{m}.

Passo 6

Use as propriedades do delta de Kronecker para simplificar as somas (ele identifica índices):
  • No primeiro termo, \delta_{il}\delta_{jm}\partial_{j}\partial_{l}u_{m} faz l\to i e m\to j, ficando \partial_{j}\partial_{i}u_{j}.
  • No segundo termo, \delta_{im}\delta_{jl}\partial_{j}\partial_{l}u_{m} faz m\to i e l\to j, ficando \partial_{j}\partial_{j}u_{i}.
Então
\big(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{u})\big)_{i} =\partial_{j}\partial_{i}u_{j}-\partial_{j}\partial_{j}u_{i}.

Passo 7

Reescreva esses termos em notação de operadores:
  • \partial_{j}\partial_{i}u_{j}=\partial_{i}(\partial_{j}u_{j})=(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{u}))_{i}.
  • \partial_{j}\partial_{j}u_{i}=(\nabla^{2}\vec{u})_{i}.
Portanto, para cada componente i,
\big(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{u})\big)_{i} =(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{u}))_{i}-(\nabla^{2}\vec{u})_{i}.

Passo 8

Como a igualdade vale para cada componente i, concluímos a identidade vetorial na forma de vetor:
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{u})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{u})-\nabla^{2}\vec{u},
sob a hipótese padrão de que as derivadas parciais de segunda ordem de \vec{u} são contínuas (isso garante que \partial_{j}\partial_{l}=\partial_{l}\partial_{j}).

Resposta

\vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \times \vec{u})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{u})-\nabla^{2} \vec{u}

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