Seja uma distribuição de carga dada por
então, calcule a carga total.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de carga esfericamente simétrica
onde
é a distância radial ao centro,
é uma constante (densidade de carga no centro) e
é uma constante com dimensão de comprimento. A pergunta é: calcular a carga total
ocupada por essa distribuição, isto é a integral da densidade sobre todo o espaço:
Passo 2
Explicando o elemento de volume em coordenadas esféricas: em coordenadas esféricas o elemento de volume é
onde
é o ângulo polar e
o azimutal. Para uma densidade que depende só de
(simetria esférica), as integrais angulares se separam e valem
Portanto a carga total reduz-se à integral radial
Passo 3
Substituindo a densidade dada na expressão acima:
Um comentário rápido: a integral converge porque o fator exponencial decai mais rápido que qualquer potência de
.
Passo 4
Para avaliar a integral faça a mudança de variável de escala
.) Então
e
. Os limites
viram
. Substituindo:
Logo
Passo 5
Avaliar a integral
. Uma forma elementar é integrar por partes duas vezes.
Defina
.
Primeira integração por partes: tome
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
,
O termo fronteira
e em
é zero, então o termo de borda é zero. Assim
Segunda integração por partes para
: tome
,
, então
,
. Assim
Novamente o termo de borda é zero e a integral restante é
. Logo
. Portanto
Observação rápida: isso também equivale ao fato geral
para
inteiro não-negativo (função Gama).
Passo 6
Voltando para
, substituindo o valor da integral:
Interpretação: a carga total é finita e proporcional a
. As unidades conferem:
(carga por volume) vezes
(volume) dá carga, e o fator adimensional
aparece da integração angular e do cálculo da integral radial.