Seja uma distribuição de carga dada por
\rho(\vec{r})=\rho_{0} e^{-r / a} \quad(0<r<\infty)
então, calcule a carga total.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de carga esfericamente simétrica
\rho(\vec{r})=\rho_{0}e^{-r/a}\quad(0<r<\infty),
onde r é a distância radial ao centro, \rho_{0} é uma constante (densidade de carga no centro) e a>0 é uma constante com dimensão de comprimento. A pergunta é: calcular a carga total Q ocupada por essa distribuição, isto é a integral da densidade sobre todo o espaço:
Q=\int_{\text{todo o espaço}}\rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V.ç

Passo 2

Explicando o elemento de volume em coordenadas esféricas: em coordenadas esféricas o elemento de volume é
\mathrm{d}V=r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi,
onde \theta é o ângulo polar e \varphi o azimutal. Para uma densidade que depende só de r (simetria esférica), as integrais angulares se separam e valem
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi=2\cdot2\pi=4\pi.
Portanto a carga total reduz-se à integral radial
Q=4\pi\int_{0}^{\infty}\rho(r)\,r^{2}\,\mathrm{d}r.

Passo 3

Substituindo a densidade dada na expressão acima:
Q=4\pi\int_{0}^{\infty}\rho_{0}e^{-r/a}\,r^{2}\,\mathrm{d}r =4\pi\rho_{0}\int_{0}^{\infty}r^{2}e^{-r/a}\,\mathrm{d}r.
Um comentário rápido: a integral converge porque o fator exponencial decai mais rápido que qualquer potência de r.

Passo 4

Para avaliar a integral faça a mudança de variável de escala \;x=r/a.) Então r=a x e \mathrm{d}r=a\,\mathrm{d}x. Os limites r=0\to\infty viram x=0\to\infty. Substituindo:
\int_{0}^{\infty}r^{2}e^{-r/a}\,\mathrm{d}r =\int_{0}^{\infty}(a x)^{2}e^{-x}\,a\,\mathrm{d}x =a^{3}\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d}x.
Logo
Q=4\pi\rho_{0}a^{3}\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Avaliar a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d}x. Uma forma elementar é integrar por partes duas vezes.
Defina I=\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d}x.
Primeira integração por partes: tome u=x^{2} e \mathrm{d}v=e^{-x}\mathrm{d}x. Então \mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x e v=-e^{-x}. Aplicando a fórmula \int u\,\mathrm{d}v=[uv]_{0}^{\infty}-\int v\,\mathrm{d}u,
I=\Big[-x^{2}e^{-x}\Big]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}2x e^{-x}\,\mathrm{d}x.
O termo fronteira \lim_{x\to\infty}x^{2}e^{-x}=0 e em x=0 é zero, então o termo de borda é zero. Assim
I=2\int_{0}^{\infty}x e^{-x}\,\mathrm{d}x.
Segunda integração por partes para J=\int_{0}^{\infty}x e^{-x}\,\mathrm{d}x: tome u=x, \mathrm{d}v=e^{-x}\mathrm{d}x, então \mathrm{d}u=\mathrm{d}x, v=-e^{-x}. Assim
J=\Big[-x e^{-x}\Big]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,\mathrm{d}x.
Novamente o termo de borda é zero e a integral restante é \int_{0}^{\infty}e^{-x}\,\mathrm{d}x=1. Logo J=1. Portanto
I=2J=2.
Observação rápida: isso também equivale ao fato geral \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x}\,\mathrm{d}x=n! para n inteiro não-negativo (função Gama).

Passo 6

Voltando para Q, substituindo o valor da integral:
Q=4\pi\rho_{0}a^{3}\cdot 2 = 8\pi\rho_{0}a^{3}.
Interpretação: a carga total é finita e proporcional a \rho_{0}a^{3}. As unidades conferem: \rho_{0} (carga por volume) vezes a^{3} (volume) dá carga, e o fator adimensional 8\pi aparece da integração angular e do cálculo da integral radial.

Resposta

Q=8\pi\rho_{0}a^{3}

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