1. Considere a sequência ( 1,2,4,5,7,8,10,11, \ldots ), cujos termos são os números inteiros positivos que não são múltiplos de 3 . A soma dos quarenta primeiros termos dessa sequência é:
    a) 600
    b) 900
    c) 1200
    d) 1400
    e) 1800

Passo 1

O enunciado dá a sequência dos inteiros positivos que NÃO são múltiplos de 3:
1,2,4,5,7,8,10,11,\ldots
O que é pedido: calcular a soma dos quarenta primeiros termos dessa sequência. Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A sequência contém todos os inteiros positivos exceto aqueles divisíveis por 3.
  • Os primeiros termos são 1,2,4,5,7,8,\ldots.
  • Queremos a soma dos primeiros 40 termos.

Passo 2

Observação útil sobre a estrutura da sequência (pista para resolver de forma organizada):
  • Os inteiros positivos agrupam-se em blocos de três consecutivos \{3m+1,3m+2,3m+3\}.
  • Em cada bloco, os números que NÃO são múltiplos de 3 são exatamente 3m+1 e 3m+2.
    Para checar: para m=0 obtemos 3\cdot0+1=1 e 3\cdot0+2=2; para m=1 obtemos 4 e 5; etc. Isso confirma que os termos da sequência vêm em pares (3m+1,\;3m+2).

Passo 3

Contagem de blocos necessária:
  • Cada bloco fornece 2 termos da sequência.
  • Queremos 40 termos, logo precisamos de 40/2=20 blocos completos.
  • Os blocos correspondem a m=0,1,2,\dots,19 (vinte valores de m).

Passo 4

Escrever a soma como soma por blocos.
Se S é a soma dos primeiros 40 termos então
S=\sum_{m=0}^{19}\bigl((3m+1)+(3m+2)\bigr).
Simplificando a soma dentro do somatório:
(3m+1)+(3m+2)=6m+3,
portanto
S=\sum_{m=0}^{19}(6m+3).

Passo 5

Separar o somatório em duas partes e usar a fórmula da soma dos inteiros.
S=6\sum_{m=0}^{19}m \;+\;3\sum_{m=0}^{19}1.
  • A soma \sum_{m=0}^{19}1 conta quantos termos há: são 20 termos, logo \sum_{m=0}^{19}1=20.
  • A soma dos inteiros de 0 a 19 usa a fórmula \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}. Como \sum_{m=0}^{19}m=\sum_{k=1}^{19}k, então
\sum_{m=0}^{19}m=\frac{19\cdot20}{2}=190.

Passo 6

Calcular S substituindo os valores:
S=6\cdot 190 + 3\cdot 20.
Calcule passo a passo:
6\cdot 190 = 6\cdot(200-10)=1200-60=1140,
3\cdot 20=60.
Logo
S=1140+60=1200.

Passo 7

Interpretação final: a soma dos 40 primeiros termos da sequência (números positivos que não são múltiplos de 3) é 1200. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à letra c.

Resposta

c) 1200

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