- Considere a sequência (
), cujos termos são os números inteiros positivos que não são múltiplos de 3 . A soma dos quarenta primeiros termos dessa sequência é:
a) 600
b) 900
c) 1200
d) 1400
e) 1800
a) 600
b) 900
c) 1200
d) 1400
e) 1800
Passo 1
O enunciado dá a sequência dos inteiros positivos que NÃO são múltiplos de 3:
O que é pedido: calcular a soma dos quarenta primeiros termos dessa sequência. Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A sequência contém todos os inteiros positivos exceto aqueles divisíveis por
. - Os primeiros termos são
. - Queremos a soma dos primeiros
termos.
Passo 2
Observação útil sobre a estrutura da sequência (pista para resolver de forma organizada):
- Os inteiros positivos agrupam-se em blocos de três consecutivos
. - Em cada bloco, os números que NÃO são múltiplos de
são exatamente e .
Para checar: paraobtemos e ; para obtemos e ; etc. Isso confirma que os termos da sequência vêm em pares .
Passo 3
Contagem de blocos necessária:
- Cada bloco fornece
termos da sequência. - Queremos
termos, logo precisamos de blocos completos. - Os blocos correspondem a
(vinte valores de ).
Passo 4
Escrever a soma como soma por blocos.
Se é a soma dos primeiros
termos então
Se
Simplificando a soma dentro do somatório:
portanto
Passo 5
Separar o somatório em duas partes e usar a fórmula da soma dos inteiros.
- A soma
conta quantos termos há: são termos, logo . - A soma dos inteiros de
a usa a fórmula . Como , então
Passo 6
Calcular
substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Logo
Passo 7
Interpretação final: a soma dos
primeiros termos da sequência (números positivos que não são múltiplos de
) é
. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à letra
.
Resposta
c) 1200