Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81 . Qual é o primeiro termo?

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Número de termos: n=39.
  • Último termo: a_{39}=176.
  • Termo central (o termo no meio da progressão): a_{\text{central}}=81.
  • Pergunta: qual é o primeiro termo a_1?

Passo 2

Definir notação e fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo).
  • Denotamos por a_k o k-ésimo termo da progressão.
  • O primeiro termo é a_1.
  • A razão (diferença comum) é d.
  • Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética:
a_k = a_1 + (k-1)d,
onde k é a posição do termo (por exemplo, k=39 dá o último).
  • Observação importante sobre termos simétricos numa progressão aritmética finita de n termos: o k-ésimo termo e o (n-k+1)-ésimo termo somam sempre o mesmo valor, igual a a_1+a_n. Em particular, se n é ímpar, o termo central (posição \dfrac{n+1}{2}) é a média aritmética entre o primeiro e o último termo. Vou demonstrar isso no próximo passo.

Passo 3

Mostrar por que o termo central é a média entre primeiro e último (propriedade usada).
  • Seja n ímpar. O termo central tem índice \dfrac{n+1}{2}.
  • Usando a fórmula do termo geral:
a_k = a_1+(k-1)d\quad\text{e}\quad a_{n-k+1}=a_1+(n-k)d.
  • Somando esses dois termos:
a_k + a_{n-k+1} = \bigl(a_1+(k-1)d\bigr) + \bigl(a_1+(n-k)d\bigr) = 2a_1 + (n-1)d.
  • Note que 2a_1+(n-1)d = a_1 + \bigl(a_1+(n-1)d\bigr) = a_1 + a_n. Ou seja, a_k+a_{n-k+1}=a_1+a_n independentemente de k.
  • Para o termo central, escolhemos k=\dfrac{n+1}{2}. Esse termo é par com ele mesmo (é o mesmo índice), logo ele vale a média:
a_{\frac{n+1}{2}} = \frac{a_1+a_n}{2}.
  • Assim quando n é ímpar fica muito simples: o termo do meio é exatamente a média aritmética do primeiro e do último.

Passo 4

Aplicar a propriedade ao nosso caso específico.
  • Aqui n=39 (ímpar), então o termo central é o termo de índice \dfrac{39+1}{2}=\dfrac{40}{2}=20. Ou seja, o termo central é a_{20}.
  • Pelo enunciado, a_{20}=81 e a_{39}=176.
  • Usando a relação do passo anterior:
a_{20} = \frac{a_1 + a_{39}}{2}.
  • Substituindo os valores conhecidos:
81 = \frac{a_1 + 176}{2}.

Passo 5

Resolver a equação para encontrar a_1, mostrando cada passo algebraicamente.
  • Multiplico ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
2\cdot 81 = a_1 + 176.
  • Calculo o lado esquerdo:
162 = a_1 + 176.
  • Isolo a_1 subtraindo 176 de ambos os lados:
a_1 = 162 - 176 = -14.

Passo 6

Fazer uma verificação rápida e interpretar o resultado (para ganhar confiança).
  • Podemos obter a razão d pela fórmula do último termo:
a_{39} = a_1 + (39-1)d = a_1 + 38d.
  • Substituindo a_{39}=176 e a_1=-14:
176 = -14 + 38d \quad\Rightarrow\quad 38d = 190 \quad\Rightarrow\quad d = \frac{190}{38} = 5.
  • Calcular a_{20} com esses valores para checar:
a_{20} = a_1 + (20-1)d = -14 + 19\cdot 5 = -14 + 95 = 81,
o que confirma que está correto. Tudo bate.

Resposta

-14

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