Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81 . Qual é o primeiro termo?
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Número de termos:
. - Último termo:
. - Termo central (o termo no meio da progressão):
. - Pergunta: qual é o primeiro termo
?
Passo 2
Definir notação e fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo).
- Denotamos por
o -ésimo termo da progressão. - O primeiro termo é
. - A razão (diferença comum) é
. - Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética:
onde
é a posição do termo (por exemplo,
dá o último).
- Observação importante sobre termos simétricos numa progressão aritmética finita de
termos: o -ésimo termo e o -ésimo termo somam sempre o mesmo valor, igual a . Em particular, se é ímpar, o termo central (posição ) é a média aritmética entre o primeiro e o último termo. Vou demonstrar isso no próximo passo.
Passo 3
Mostrar por que o termo central é a média entre primeiro e último (propriedade usada).
- Seja
ímpar. O termo central tem índice . - Usando a fórmula do termo geral:
- Somando esses dois termos:
- Note que
. Ou seja, independentemente de . - Para o termo central, escolhemos
. Esse termo é par com ele mesmo (é o mesmo índice), logo ele vale a média:
- Assim quando
é ímpar fica muito simples: o termo do meio é exatamente a média aritmética do primeiro e do último.
Passo 4
Aplicar a propriedade ao nosso caso específico.
- Aqui
(ímpar), então o termo central é o termo de índice . Ou seja, o termo central é . - Pelo enunciado,
e . - Usando a relação do passo anterior:
- Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Resolver a equação para encontrar
, mostrando cada passo algebraicamente.
- Multiplico ambos os lados por
para eliminar a fração:
- Calculo o lado esquerdo:
- Isolo
subtraindo de ambos os lados:
Passo 6
Fazer uma verificação rápida e interpretar o resultado (para ganhar confiança).
- Podemos obter a razão
pela fórmula do último termo:
- Substituindo
e :
- Calcular
com esses valores para checar:
o que confirma que está correto. Tudo bate.