Considere a sequência

an=raizn+1-raizn
Todas as afirmaçōes estāo corretas, exceto.
Escolha uma opção:
a
é uma sequência decrescente.
b.
cresce ilimitadamente.
O
c.
lim n infty an=0
está definida para todo número natural.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . O conteúdo envolvido aqui é análise de sequências, onde precisamos entender o comportamento dessa sequência à medida que aumenta. Para resolver, vamos examinar cada afirmação e verificar qual delas está incorreta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar se a sequência é decrescente. Uma sequência é decrescente se cada termo é menor que o anterior. Vamos comparar an+1 = raizn+2 - raizn+1 com an = raizn+1 - raizn :
Como , a sequência é de fato decrescente. Portanto, a afirmação a está correta.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência cresce ilimitadamente. Crescer ilimitadamente significa que os termos da sequência tendem ao infinito à medida que limn to infty (raizn+1 - raizn) aumenta. Vamos calcular o limite de limn to infty (raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn)raizn+1 + raizn = limn to infty (n+1) - nraizn+1 + raizn = limn to infty 1raizn+1 + raizn = 0 quando tende ao infinito:
Podemos simplificar multiplicando o numerador e o denominador pela conjugada:
Como o limite é 0, a sequência não cresce ilimitadamente. Portanto, a afirmação b está incorreta.

Passo 4

Por fim, vamos confirmar se o limite da sequência é 0 para todo número natural limn to infty an = 0 :
Como já calculamos no passo anterior, esse limite realmente é 0. Portanto, a afirmação c está correta.

Resposta

A afirmação incorreta é a opção b. cresce ilimitadamente.

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