Considere a sequência
definida recursivamente como:
e
(a) Mostre que essa sequência é crescente.
(b) Mostre que essa sequência é limitada por 4 .
(c) Essa sequência é convergente? Caso seja, calcule seu limite.
(b) Mostre que essa sequência é limitada por 4 .
(c) Essa sequência é convergente? Caso seja, calcule seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Queremos mostrar:
(a) é crescente;
(b) é limitada por
;
(c) ela converge e achar seu limite.
(a)
(b)
(c) ela converge e achar seu limite.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é limitada superiormente por
.
Base ( ):
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base (
Passo indutivo: suponha
Logo, por indução, para todo
vale
.
Passo 3
Agora calculamos a diferença entre termos consecutivos:
Como já vimos que
, segue
Portanto
, ou seja,
é crescente.
Passo 4
A sequência é crescente e limitada superiormente por
. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema da Monotonia), ela converge. Seja
Como
, tomando limite em ambos os lados,
Multiplicando por
e rearranjando, obtemos
.
Resposta
(a) A sequência é crescente.
(b) Está limitada superiormente por .
(c) É convergente e .
(b) Está limitada superiormente por
(c) É convergente e