Considere a sequência (an) definida recursivamente como:
a1=2
e
an+1=4+an2
(a) Mostre que essa sequência é crescente.
(b) Mostre que essa sequência é limitada por 4 .
(c) Essa sequência é convergente? Caso seja, calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência l(anr) por
a1=2, an+1=4+an2
Queremos mostrar:
(a) l(anr) é crescente;
(b) l(anr) é limitada por 4;
(c) ela converge e achar seu limite.

Passo 2

Mostramos primeiro que l(anr) é limitada superiormente por 4.
Base ( n=1): a1=2<4.
Passo indutivo: suponha an<4. Então
an+1=4+an2<4+42=4
Logo, por indução, para todo n vale an<4.

Passo 3

Agora calculamos a diferença entre termos consecutivos:
an+1-an =4+an2-an =2-an2
Como já vimos que an<4, segue
2-an2>2-42=0
Portanto an+1-an>0, ou seja, l(anr) é crescente.

Passo 4

A sequência é crescente e limitada superiormente por 4. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema da Monotonia), ela converge. Seja
L=limntoinftyan
Como an+1=(4+an)/2, tomando limite em ambos os lados,
L=4+L2
Multiplicando por 2 e rearranjando, obtemos L=4.

Resposta

(a) A sequência é crescente.
(b) Está limitada superiormente por 4.
(c) É convergente e limntoinftyan=4.

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