Considere a sequência
an=1,1,2,1,2,3,1,2,3,4, ldots
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas,
(b) Exiba três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não decrescentes,
(c) Exiba três subsequências monótonas decrescentes e três monótonas não crescentes.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,dots
onde, para cada k>=1, aparece em sequência os inteiros 1,2,dots,k.
Precisamos exibir
(a) três subsequências limitadas e três não limitadas,
(b) três subsequências estritamente crescentes e três não decrescentes,
(c) três subsequências estritamente decrescentes e três não crescentes.
Vamos usar as noções de subsequência infinita, de conjunto limitado e de monotonia (estrita ou fraca).

Passo 2

(a) Uma subsequência é limitada se todos os seus termos ficam dentro de algum intervalo [-M,M]. E é não limitada se ela atinge valores arbitrariamente grandes.
  • Para escolher subsequências, basta escolher índices (nk) crescentes e olhar os valores ank.

Passo 3

(a) Exemplos de três subsequências limitadas:
  1. ank=1 para todo k, onde nk são todos os índices em que aparece o primeiro 1 de cada bloco. Então (1,1,1,dots) é limitada por M=1.
  2. ank=2 para todo k>=2, escolhendo todos os índices em que aparece o termo 2. Então (2,2,2,dots) é limitada por M=2.
  3. ank=1,2,1,2,1,2,dots, escolhendo alternadamente o primeiro e o segundo termo de cada bloco, é limitada por M=2.
Exemplos de três subsequências não limitadas:
  1. Os “finais” de cada bloco: escolha nk=tfrack(k+1)2. Então
ank=k,
que cresce sem limite.
2. Apenas blocos pares: para k=1,2,3,dots pegue nk=tfrac(2k)(2k+1)2. Então
ank=2k,
que também vai a +infty.
3. Apenas blocos ímpares: para k=1,2,3,dots use nk=tfrac(2k-1)(2k)2. Dá
ank=2k-1,
que igualmente é não limitada.

Passo 4

(b) “Monótona crescente” significa estritamente xk+1>xk. “Não decrescente” significa xk+1>= xk. Vamos extrair subsequências infinitas que satisfaçam cada caso.

Passo 5

(b) Três subsequências estritamente crescentes:
  1. nk=tfrack(k+1)2, então ank=k e obtemos (1,2,3,4,dots).
  2. nk=tfrac(2k)(2k+1)2, então ank=2k e obtemos (2,4,6,8,dots).
  3. nk=tfrac(2k-1)(2k)2, então ank=2k-1 e obtemos (1,3,5,7,dots).
Três subsequências não decrescentes (weakly increasing):
  1. ank=1 (constante), assim (1,1,1,dots) é não decrescente.
  2. ank=2 (constante), assim (2,2,2,dots) é não decrescente.
  3. a mesma subsequência (1,2,3,4,dots) acima é estritamente crescente, logo também satisfaz xk+1>= xk.

Passo 6

(c) “Monótona decrescente” significa estritamente xk+1<xk. “Não crescente” significa xk+1<= xk.
Estritamente decrescente infinito? A sequência atinge sempre valores >=1 e depois reinicia em 1, não há valor menor que 1 para continuar decrescendo infinitamente. Logo não existem subsequências estritamente decrescentes infinitas.
Três subsequências não crescentes (weakly decreasing):
  1. Pegue o primeiro aparecimento de 2 num bloco e depois todos os 1 seguintes: (2,1,1,1,dots). Aqui 2>=1>=1>=cdots.
  2. Pegue o primeiro aparecimento de 3 num bloco e depois todos os 1: (3,1,1,1,dots).
  3. Qualquer subsequência constante, por exemplo (1,1,1,dots), satisfaz xk+1<= xk.

Resposta

(a)
Limitadas: (1,1,1,dots), (2,2,2,dots), (1,2,1,2,dots).
Não limitadas: l(kr)k>=1=(1,2,3,dots), (2k)k>=1=(2,4,6,dots), (2k-1)k>=1=(1,3,5,dots).
(b)
Estritamente crescentes: (1,2,3,dots), (2,4,6,dots), (1,3,5,dots).
Não decrescentes: (1,1,1,dots), (2,2,2,dots), (1,2,3,dots).
(c)
Estritamente decrescentes: não existe subsequência infinita.
Não crescentes: (2,1,1,1,dots), (3,1,1,1,dots), (1,1,1,dots).

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