Considere a sequência
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas,
(b) Exiba três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não decrescentes,
(c) Exiba três subsequências monótonas decrescentes e três monótonas não crescentes.
(b) Exiba três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não decrescentes,
(c) Exiba três subsequências monótonas decrescentes e três monótonas não crescentes.
Passo 1
O enunciado define a sequência
onde, para cada
, aparece em sequência os inteiros
.
Precisamos exibir
(a) três subsequências limitadas e três não limitadas,
(b) três subsequências estritamente crescentes e três não decrescentes,
(c) três subsequências estritamente decrescentes e três não crescentes.
Vamos usar as noções de subsequência infinita, de conjunto limitado e de monotonia (estrita ou fraca).
Precisamos exibir
(a) três subsequências limitadas e três não limitadas,
(b) três subsequências estritamente crescentes e três não decrescentes,
(c) três subsequências estritamente decrescentes e três não crescentes.
Vamos usar as noções de subsequência infinita, de conjunto limitado e de monotonia (estrita ou fraca).
Passo 2
(a) Uma subsequência é limitada se todos os seus termos ficam dentro de algum intervalo
. E é não limitada se ela atinge valores arbitrariamente grandes.
- Para escolher subsequências, basta escolher índices
crescentes e olhar os valores .
Passo 3
(a) Exemplos de três subsequências limitadas:
-
para todo , onde são todos os índices em que aparece o primeiro de cada bloco. Então é limitada por . -
para todo , escolhendo todos os índices em que aparece o termo . Então é limitada por . -
, escolhendo alternadamente o primeiro e o segundo termo de cada bloco, é limitada por .
Exemplos de três subsequências não limitadas:
- Os “finais” de cada bloco: escolha
. Então
que cresce sem limite.
2. Apenas blocos pares: para pegue
. Então
2. Apenas blocos pares: para
que também vai a
.
3. Apenas blocos ímpares: para use
. Dá
3. Apenas blocos ímpares: para
que igualmente é não limitada.
Passo 4
(b) “Monótona crescente” significa estritamente
. “Não decrescente” significa
. Vamos extrair subsequências infinitas que satisfaçam cada caso.
Passo 5
(b) Três subsequências estritamente crescentes:
-
, então e obtemos . -
, então e obtemos . -
, então e obtemos .
Três subsequências não decrescentes (weakly increasing):
-
(constante), assim é não decrescente. -
(constante), assim é não decrescente. - a mesma subsequência
acima é estritamente crescente, logo também satisfaz .
Passo 6
(c) “Monótona decrescente” significa estritamente
. “Não crescente” significa
.
Estritamente decrescente infinito? A sequência atinge sempre valores
e depois reinicia em
, não há valor menor que
para continuar decrescendo infinitamente. Logo não existem subsequências estritamente decrescentes infinitas.
Três subsequências não crescentes (weakly decreasing):
- Pegue o primeiro aparecimento de
num bloco e depois todos os seguintes: . Aqui . - Pegue o primeiro aparecimento de
num bloco e depois todos os : . - Qualquer subsequência constante, por exemplo
, satisfaz .
Resposta
(a)
Limitadas: ,
,
.
Não limitadas: ,
,
.
Limitadas:
Não limitadas:
(b)
Estritamente crescentes: ,
,
.
Não decrescentes: ,
,
.
Estritamente crescentes:
Não decrescentes:
(c)
Estritamente decrescentes: não existe subsequência infinita.
Não crescentes: ,
,
.
Estritamente decrescentes: não existe subsequência infinita.
Não crescentes: