Encontre a série de Maclaurin das funções abaixo.
cos (x^2)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin da função cosl(x^2r).
O que precisamos: conhecer a expansão de Maclaurin de cos(u) em torno de u=0 e depois fazer a substituição u=x^2.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos(u) é dada por
cos(u)=sumn=0^infty(-1)^n,u^2n(2n)!
para todo uinR.

Passo 3

Fazendo a mudança de variável u=x^2, trocamos u^2n por l(x^2r)^2n=x^4n. Assim,
cosl(x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,l(x^2r)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n(2n)!

Passo 4

Para ver na prática, extraímos alguns termos iniciais:
cosl(x^2r) =1-x^42!+x^84!-x^126!+cdots

Resposta

cosl(x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n(2n)!

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