Calcule o comprimento da curva descrita por cada uma das seguintes funções vetoriais r(t) no intervalo indicado:
r(t)=(t^2, 9 t, 4 t^3 / 2), 1 <= t <= 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica r(t) dada por
r(t) = l(t^2,;9t,;4,t^3/2r), 1 <= t <= 4
O conteúdo é comprimento de curva no espaço, e vamos usar a fórmula
L = integrala^b l|r'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada de cada componente de r(t):
r'(t) = l(2t,;9,;4cdottfrac32,t^1/2r) = l(2t,;9,;6,t^1/2r)

Passo 3

Agora achamos a norma de r'(t):
l|r'(t)r| = raiz(2t)^2 + 9^2 + l(6,t^1/2r)^2 = raiz4t^2 + 81 + 36t = raiz(2t + 9)^2 = 2t + 9,
já que 2t+9>0 para t>=1.

Passo 4

Substituímos em L e integramos:
L = integral1^4 (2t + 9),dt = l[t^2 + 9tr]1^4 = l(16 + 36r) - l(1 + 9r) = 52 - 10 = 42

Resposta

O comprimento da curva é 42.

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