Considere a sequência ann >= 1 definida por a1=raiz2 e an+1=raiz2+an, n >= 1.
a) Mostre que an<2, para n >= 1.

Passo 1

O exercício apresenta a sequência a1 = raiz2 e an+1 = raiz2 + an. O conteúdo principal aqui é usar o princípio da indução matemática para mostrar que an < 2 para todo n >= 1.

Passo 2

Base da indução: para n = 1, temos a1 = raiz2. Como raiz2 approx 1,414 < 2, vale a1 < 2.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k >= 1 valha ak < 2. Então
2 + ak < 2 + 2 = 4
Como a função raiz quadrada é crescente em [0,infty), segue
ak+1 = raiz2 + ak < raiz4 = 2

Passo 4

Portanto, sob a hipótese indutiva ak < 2, mostramos que ak+1 < 2.
Concluindo pela indução matemática, an < 2 para todo n >= 1.

Resposta

Para todo n >= 1, an < 2.

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