Calcule a resposta ao impulso de um sistema de tempo discreto casual de primeira ordem, dado pela sequinte expressão
Indique os raios de convergência;
Passo 1
O enunciado pede a transformada em z (liberdade de escolher como “resposta ao impulso” aqui) da sequência
$$ x[n] = \bigl((\tfrac12)^n + 2^n\bigr),u[n+1], $$e os raios de convergência (ROC). Precisamos usar a definição de Z{a^n u[n] } = 1/(1–a z^{–1}), com ROC: |z|>|a|, e ajustar o fato de u[n+1] deslocar o índice.
Passo 2
Para o primeiro termo defina x_1[n] = (1/2)^n u[n+1]. Como u[n+1]=1 só para n≥–1, faça k=n+1 ⇒ n=k–1 (k≥0). Então
$$ x_1[n] = (\tfrac12)^{k-1} = 2,(\tfrac12)^k, \quad z{-n}=z{-(k-1)}=z,z^{-k}.
com ROC: |½ z^{–1}|<1 ⇒ |z|>½.
Passo 3
Para o segundo termo defina x_2[n] = 2^n u[n+1]. De novo k=n+1 ⇒ n=k–1, e 2n=2{k-1}=\tfrac12·2^k. Temos
$$ Z_2(z)=\sum_{k=0}{\infty}\tfrac12·2k,z,z{-k}=\frac{z/2}{1-2z{-1}}, $$
com ROC: |2z^{–1}|<1 ⇒ |z|>2.
com ROC: |2z^{–1}|<1 ⇒ |z|>2.
Passo 4
Somando as duas partes, a transformada completa é
$$ X(z)=Z_1(z)+Z_2(z)=\frac{2z}{1-\tfrac12 z^{-1}}+\frac{\tfrac z2}{1-2z^{-1}}. $$
Como o ROC do somatório é a interseção dos dois ROCs individuais, fica |z|>2.
Como o ROC do somatório é a interseção dos dois ROCs individuais, fica |z|>2.
Resposta
O ROC é