x(n)=\left\{\begin{array}{c} e^{j \omega_{0} n}, \quad 0 \leq n \leq N-1 \\\\ 0, \text { caso contrário } \end{array}\right.
a. Forneça a transformada de Fourier X\left(e^{j \omega}\right). Resposta: \frac{1-e^{-j\left(\omega-\omega_{0}\right) N}}{1-e^{-j\left(\omega-\omega_{0}\right)}}
b. Calcule a TFD de N pontos X(k) da sequência de comprimento finito x(n).
Resposta: \frac{1-e^{-j\left(2 \pi k / N-\omega_{0}\right) N}}{1-e^{-j\left(2 \pi k / N-\omega_{0}\right)}}
c. Forneça a TFD de x(n) para o caso \omega_{0}=2 \pi k_{0} / N, sendo k_{0} um inteiro. Resposta:
O objetivo é (a) achar a Transformada de Fourier discreta em frequência contínua X(e^{j\omega}), (b) a TFD de N pontos X(k) e (c) especializar para \omega_{0}=2\pi k_{0}/N. Vamos usar a definição de DTFT e de DFT, além da soma de uma progressão geométrica finita.
a. \displaystyle X\bigl(e^{j\omega}\bigr)=\frac{1-e^{-j(\omega-\omega_{0})N}}{1-e^{-j(\omega-\omega_{0})}}
b. \displaystyle X(k)=\frac{1-e^{-j\bigl(2\pi k/N-\omega_{0}\bigr)N}}{1-e^{-j\bigl(2\pi k/N-\omega_{0}\bigr)}}
c. \displaystyle X(k)=\frac{1-e^{-j(k-k_{0})2\pi}}{1-e^{-j(k-k_{0})2\pi/N}}