Considere a sequência complexa
x(n)=\left\{\begin{array}{c} e^{j \omega_{0} n}, \quad 0 \leq n \leq N-1 \\\\ 0, \text { caso contrário } \end{array}\right.á
a. Forneça a transformada de Fourier X\left(e^{j \omega}\right). Resposta: \frac{1-e^{-j\left(\omega-\omega_{0}\right) N}}{1-e^{-j\left(\omega-\omega_{0}\right)}}
b. Calcule a TFD de N pontos X(k) da sequência de comprimento finito x(n).
Resposta: \frac{1-e^{-j\left(2 \pi k / N-\omega_{0}\right) N}}{1-e^{-j\left(2 \pi k / N-\omega_{0}\right)}}
c. Forneça a TFD de x(n) para o caso \omega_{0}=2 \pi k_{0} / N, sendo k_{0} um inteiro. Resposta:
\frac{1-e^{-j\left(k-k_{0}\right) 2 \pi}}{1-e^{-j\left(k-k_{0}\right) 2 \pi / N}}

Passo 1

O enunciado define a sequência discreta
x(n)= \begin{cases} e^{j\omega_{0}n},&0\le n\le N-1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á
O objetivo é (a) achar a Transformada de Fourier discreta em frequência contínua X(e^{j\omega}), (b) a TFD de N pontos X(k) e (c) especializar para \omega_{0}=2\pi k_{0}/N. Vamos usar a definição de DTFT e de DFT, além da soma de uma progressão geométrica finita.

Passo 2

Pela definição de DTFT temos
X\bigl(e^{j\omega}\bigr) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} =\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\omega_{0}n}e^{-j\omega n} =\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j(\omega-\omega_{0})n}.
Reconhecemos uma soma geométrica de razão a=e^{-j(\omega-\omega_{0})} e N termos, cuja fórmula é
\sum_{n=0}^{N-1}a^{n} =\frac{1-a^{N}}{1-a}.
Substituindo a=e^{-j(\omega-\omega_{0})} obtemos
X\bigl(e^{j\omega}\bigr) =\frac{1-e^{-j(\omega-\omega_{0})N}}{1-e^{-j(\omega-\omega_{0})}}.

Passo 3

A TFD de N pontos avalia a DTFT em \omega=2\pi k/N. Logo
X(k) =X\bigl(e^{j\,2\pi k/N}\bigr) =\frac{1-e^{-j\bigl(2\pi k/N-\omega_{0}\bigr)N}}{1-e^{-j\bigl(2\pi k/N-\omega_{0}\bigr)}}.

Passo 4

Para o caso \omega_{0}=2\pi k_{0}/N (com k_{0} inteiro), basta substituir em X(k):
X(k) =\frac{1-e^{-j\bigl(2\pi k/N-2\pi k_{0}/N\bigr)N}} {1-e^{-j\bigl(2\pi k/N-2\pi k_{0}/N\bigr)}} =\frac{1-e^{-j(k-k_{0})2\pi}}{1-e^{-j(k-k_{0})2\pi/N}}.

Resposta

a. \displaystyle X\bigl(e^{j\omega}\bigr)=\frac{1-e^{-j(\omega-\omega_{0})N}}{1-e^{-j(\omega-\omega_{0})}}
b. \displaystyle X(k)=\frac{1-e^{-j\bigl(2\pi k/N-\omega_{0}\bigr)N}}{1-e^{-j\bigl(2\pi k/N-\omega_{0}\bigr)}}
c. \displaystyle X(k)=\frac{1-e^{-j(k-k_{0})2\pi}}{1-e^{-j(k-k_{0})2\pi/N}}

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