Calcule a TFD de cada uma das seguintes sequências (considere N par)
x(n)=\left\{\begin{array}{l}1,0 \leq n \leq N / 2-1 \\\\ 0, N / 2 \leq n \leq N-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a Transformada Discreta de Fourier de
x(n)= \begin{cases} 1, & 0 \le n \le \tfrac{N}{2}-1,\\\\ 0, & \tfrac{N}{2} \le n \le N-1, \end{cases}
com N par. Vamos usar a definição
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}
e a soma de uma série geométrica para resolver.

Passo 2

Como x(n)=0 para n\ge N/2, reduzimos a soma a
X(k)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}.

Passo 3

Reconhecemos uma série geométrica de razão r=e^{-j\frac{2\pi}{N}k} e M=\frac{N}{2} termos, cujo somatório é
\sum_{n=0}^{M-1}r^n =\frac{1-r^M}{1-r} =\frac{1 - e^{-j\frac{2\pi}{N}k\frac{N}{2}}}{1 - e^{-j\frac{2\pi}{N}k}}.
Substituindo M=\tfrac{N}{2}, obtemos
X(k) =\frac{1 - e^{-j\pi k}}{1 - e^{-j\frac{2\pi}{N}k}} =\frac{1 - (-1)^k}{1 - e^{-j\frac{2\pi}{N}k}}.

Passo 4

Precisamos tratar o caso k=0 separadamente, pois o denominador anula-se em k=0. Mas por definição de DFT,
X(0)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n) =\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}1 =\frac{N}{2}.

Passo 5

Para k\neq0 notamos que (-1)^k=1 se k é par e (-1)^k=-1 se k é ímpar. Logo,
  • Se k é par e não-zero, 1-(-1)^k=0 implica
X(k)=0.
  • Se k é ímpar, 1-(-1)^k=2 e então
X(k) =\frac{2}{1 - e^{-j\frac{2\pi}{N}k}}.

Passo 6

Podemos deixar a resposta final em forma compacta piecewise.

Resposta

X(k)= \begin{cases} \dfrac{N}{2}, & k=0,\\[1em] 0, & k\text{ par},\;1\le k\le N-1,\\[0.5em] \dfrac{2}{\,1 - e^{-j\frac{2\pi}{N}k}\,}, & k\text{ ímpar}. \end{cases}í]

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