Considere uma sequência de duração finita com 20 pontos x(n) tal que x(n)=0 fora de 0 \leq n \leq 19, e seja X\left(e^{j \omega}\right) a TFTD de x(n).
Deseja-se calcular X\left(e^{j \omega}\right) em \omega=\frac{10 \pi}{27} computando-se uma TFD de M pontos.
Determine o menor valor de M possível e desenvolva um método para obtenção de X\left(e^{j \omega}\right) em \omega=\frac{10 \pi}{27} usando o menor M. Resposta: \mathrm{M}=27, X(k) para k=5.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de duração finita x(n) com suporte em 0\le n\le19 e define sua transformada de tempo-contínuo discreto (DTFT)
X\bigl(e^{j\omega}\bigr)=\sum_{n=0}^{19}x(n)\,e^{-j\omega n}.
Queremos avaliar X\bigl(e^{j\omega}\bigr) em \omega=\tfrac{10\pi}{27} usando uma transformada discreta finita (DFT) de M pontos.

Passo 2

Se zero-paddarmos x(n)\) até tamanho \(M\) definindo \[x_M(n)= \begin{cases} x(n),&0\le n\le19,\\\\ 0,&20\le n\le M-1, \end{cases}
então a DFT de M\] pontos é \[X_M(k)=\sum_{n=0}^{M-1}x_M(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{M}kn} =\sum_{n=0}^{19}x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{M}kn}.\] Para que um binário \(k da DFT coincida com \omega=\tfrac{10\pi}{27}, precisamos de
\frac{2\pi}{M}\,k \;=\;\frac{10\pi}{27} \quad\Longrightarrow\quad \frac{k}{M}=\frac{10}{54}=\frac{5}{27}.

Passo 3

Da igualdade \tfrac{k}{M}=\tfrac{5}{27} segue 27\,k=5\,M. Como k e M são inteiros e M\ge20 (pelo comprimento de x), o menor M que satisfaz essa relação é M=27. Aí k=5.

Passo 4

Método para obter X\bigl(e^{j\frac{10\pi}{27}}\bigr) com M=27:
  1. Forme o vetor
    \bigl[x(0),x(1),\dots,x(19),0,\dots,0\bigr] de comprimento 27.
  2. Calcule a DFT de 27 pontos desse vetor e obtenha X_{27}(k) para k=0,1,\dots,26.
  3. A resposta desejada é
X\Bigl(e^{j\frac{10\pi}{27}}\Bigr) = X_{27}(5).

Resposta

O menor M é 27 e o índice da DFT correspondente é k=5. Portanto,
X\bigl(e^{j\frac{10\pi}{27}}\bigr)=X_{27}(5).

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