Calcule a TFD de cada uma das seguintes sequências (considere N par)
x(n)=\left\{\begin{array}{c}a^{n}, 0 \leq n \leq N-1 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á

Passo 1

O enunciado pede a transformada discreta de Fourier (TFD) da sequência \displaystyle x(n)=\begin{cases}a^{n},&0\le n\le N-1,\\\ 0,&\text{caso contrário,}\end{cases}á
com N par. Para resolver, vamos usar a definição de TFD e a soma de uma progressão geométrica.

Passo 2

A definição da TFD diz que, para k=0,1,\dots,N-1,
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}.
Aqui temos x(n)=a^n nessa faixa, então basta inserir na soma.

Passo 3

Substituindo x(n) na definição, obtemos
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}a^{n}\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} =\sum_{n=0}^{N-1}\Bigl(a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}\Bigr)^{n}.
Reconhecemos uma soma geométrica de primeiro termo 1 e razão r=a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}.

Passo 4

A soma dos N termos de uma geométrica é
\sum_{n=0}^{N-1}r^{n} =\frac{1-r^{N}}{1-r},
então aqui
X(k) =\frac{1-\bigl(a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}\bigr)^{N}} {1-a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}}.

Passo 5

Como \bigl(e^{-j\frac{2\pi}{N}k}\bigr)^{N}=e^{-j2\pi k}=1, o numerador simplifica para 1-a^{N}. Logo
X(k) =\frac{1-a^{N}}{1-a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}}.
Esse é o resultado geral para k=0,\dots,N-1. Note que, se a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}=1, a fórmula se anula no denominador e a soma vale simplesmente N.

Resposta

X(k)=\frac{1-a^{N}}{1-a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}},\quad k=0,1,\dots,N-1.
(Quando a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}=1, então X(k)=N.)

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