Considere a sequência dada por a_{n}=\frac{-4 n}{n+7}
Parte 4) [10%] Determine \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}. Insira aqui o valor do limite □

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{-4n}{n+7} e pede o valor do limite \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A fórmula do termo geral é a_{n}=\dfrac{-4n}{n+7}.
  • Queremos o comportamento de a_{n} quando n cresce sem limite ( n\to\infty).
    Nada mais é pedido.

Passo 2

Intuição inicial (sem formalismo): para n muito grande, os termos de maior ordem em numerador e denominador dominam a razão. O numerador é proporcional a n (tem termo -4n) e o denominador também é proporcional a n (tem termo n mais uma constante 7). Então esperamos que a razão tenda a constante próxima de -4/1 = -4. Agora vamos transformar essa intuição numa conta clara e simples.

Passo 3

Técnica padrão: dividir numerador e denominador por n (o termo de maior ordem). Isso é permitido para cada n\neq0. Fazendo a divisão obtemos uma forma que torna explícito o que acontece quando n\to\infty:
a_{n}=\frac{-4n}{n+7}=\frac{-4}{1+\dfrac{7}{n}}.
Explique o porquê: dividimos o numerador -4n por n e o denominador n+7 por n, ficando -4 no numerador e 1+7/n no denominador.

Passo 4

Agora usamos propriedades simples de limites de sequências (regras de soma, produto e quociente). Observações:
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{7}{n}=0, porque uma constante dividida por n vai a zero quando n cresce.
  • Então \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{7}{n}\right)=1+0=1.
  • Como o numerador -4 é constante, o limite da expressão \dfrac{-4}{1+\frac{7}{n}} é simplesmente \dfrac{-4}{1} (já que o denominador tende a 1 e não é zero no limite).
Portanto pela regra do quociente,
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{-4}{1+\dfrac{7}{n}}=\frac{-4}{1}=-4.

Passo 5

Se quiseres uma demonstração um pouco mais rigorosa estilo prova (epsilon–N), aqui vai uma versão curta que dá segurança para a prova: calcule a diferença entre a_{n} e -4:
a_{n}+4=\frac{-4n}{n+7}+4=\frac{-4n+4(n+7)}{n+7}=\frac{28}{n+7}.
Logo,
\left|a_{n}+4\right|=\frac{28}{n+7}\le\frac{28}{n}\quad\text{para }n\ge1.
Dado \varepsilon>0, escolha N>\dfrac{28}{\varepsilon}. Para todo n\ge N vale \left|a_{n}+4\right|<\varepsilon. Isso prova formalmente que a_{n}\to-4.

Resposta

-4

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