Considere a sequência dada por
Parte 4) [10%] Determine
. Insira aqui o valor do limite □
Parte 4) [10%] Determine
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede o valor do limite
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A fórmula do termo geral é
. - Queremos o comportamento de
quando cresce sem limite ( ).
Nada mais é pedido.
Passo 2
Intuição inicial (sem formalismo): para
muito grande, os termos de maior ordem em numerador e denominador dominam a razão. O numerador é proporcional a
(tem termo
) e o denominador também é proporcional a
(tem termo
mais uma constante
). Então esperamos que a razão tenda a constante próxima de
. Agora vamos transformar essa intuição numa conta clara e simples.
Passo 3
Técnica padrão: dividir numerador e denominador por
(o termo de maior ordem). Isso é permitido para cada
. Fazendo a divisão obtemos uma forma que torna explícito o que acontece quando
:
Explique o porquê: dividimos o numerador
por
e o denominador
por
, ficando
no numerador e
no denominador.
Passo 4
Agora usamos propriedades simples de limites de sequências (regras de soma, produto e quociente). Observações:
-
, porque uma constante dividida por vai a zero quando cresce. - Então
. - Como o numerador
é constante, o limite da expressão é simplesmente (já que o denominador tende a e não é zero no limite).
Portanto pela regra do quociente,
Passo 5
Se quiseres uma demonstração um pouco mais rigorosa estilo prova (epsilon–N), aqui vai uma versão curta que dá segurança para a prova: calcule a diferença entre
e
:
Logo,
Dado
, escolha
. Para todo
vale
. Isso prova formalmente que
.