Considere a sequência dada por a_{n}=\frac{-4 n}{n+7}
Parte 2) [30%] Determine se
<1> a sequência é limitada
<0> a sequência é ilimitada
e justifique precisamente a sua conclusão.
Dica: investigue se m \leq a_{n} \leq M para m e M reais, ou \left|a_{n}\right| \leq K para um K real.
Insira aqui a sua opção \mathbf{1} (se a sequência é limitada) ou \mathbf{0} (se ilimitada) □

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{-4n}{n+7} (com n inteiro positivo) e pede para decidir se a sequência é limitada (opção 1) ou ilimitada (opção 0) e justificar precisamente. A dica sugere provar existência de números reais m e M tais que m \leq a_{n} \leq M para todo n, ou provar que existe K real com \left|a_{n}\right|\leq K para todo n.

Passo 2

O que significa “sequência limitada”? Vou escrever a definição de forma simples e precisa:
  • Dizemos que a sequência \{a_n\} é limitada se existem números reais m e M tais que
m \leq a_n \leq M\qquad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
  • Equivalente: existe K>0 tal que
\left|a_n\right| \leq K\qquad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Se eu conseguir encontrar tais constantes m,M (ou K), já tenho a justificativa.

Passo 3

Fazendo uma manipulação algébrica que ajuda a entender o comportamento de a_n:
a_n=\dfrac{-4n}{n+7}.
Escrevo o numerador como -4(n+7)+28 (porque -4(n+7)+28 = -4n-28+28=-4n). Então
a_n=\dfrac{-4(n+7)+28}{n+7}=\dfrac{-4(n+7)}{n+7}+\dfrac{28}{n+7}=-4+\dfrac{28}{n+7}.

Passo 4

Agora analiso a fração \dfrac{28}{n+7} para n\in\mathbb{N} (assumindo n\ge 1, o índice usual):
  • Como n\ge 1, tem n+7\ge 8. Portanto
0<\dfrac{28}{n+7}\le\dfrac{28}{8}=3{,}5.
  • A fração é sempre positiva e tende a 0 quando n\to\infty.

Passo 5

Usando a_n=-4+\dfrac{28}{n+7} e a desigualdade do passo anterior, obtemos
-4 < -4+\dfrac{28}{n+7} \le -4+3{,}5.
Isto é,
-4 < a_n \le -0{,}5\qquad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Como a desigualdade estrita à esquerda implica também a desigualdade não estrita, posso escolher m=-4 e M=-0{,}5 e afirmar que
m \le a_n \le M\qquad\text{para todo }n.
Portanto já tenho os dois limites (inferior e superior) que provam que a sequência é limitada.

Passo 6

Uma observação alternativa (útil na prova): da desigualdade -4 < a_n \le -0{,}5 segue que |a_n| < 4 para todo n, logo posso escolher K=4 e ter \left|a_n\right|\le K. Isso é outra forma de ver a limitação (uma única constante que limita o valor absoluto).

Passo 7

Conclusão e justificativa final, de forma direta e precisa: existem constantes reais m=-4 e M=-0{,}5 tais que m \le a_n \le M para todo n. Logo a sequência \left(a_n\right) é limitada.

Resposta

1

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