Considere a sequência dada por
Parte 2) [30%] Determine se
<1> a sequência é limitada
<0> a sequência é ilimitada
e justifique precisamente a sua conclusão.
Dica: investigue se
para
e
reais, ou
para um
real.
Insira aqui a sua opção
(se a sequência é limitada) ou
(se ilimitada) □
Parte 2) [30%] Determine se
<1> a sequência é limitada
<0> a sequência é ilimitada
e justifique precisamente a sua conclusão.
Dica: investigue se
Insira aqui a sua opção
Passo 1
O enunciado dá a sequência
(com
inteiro positivo) e pede para decidir se a sequência é limitada (opção
) ou ilimitada (opção
) e justificar precisamente. A dica sugere provar existência de números reais
e
tais que
para todo
, ou provar que existe
real com
para todo
.
Passo 2
O que significa “sequência limitada”? Vou escrever a definição de forma simples e precisa:
- Dizemos que a sequência
é limitada se existem números reais e tais que
- Equivalente: existe
tal que
Se eu conseguir encontrar tais constantes
(ou
), já tenho a justificativa.
Passo 3
Fazendo uma manipulação algébrica que ajuda a entender o comportamento de
:
Escrevo o numerador como
(porque
). Então
Passo 4
Agora analiso a fração
para
(assumindo
, o índice usual):
- Como
, tem . Portanto
- A fração é sempre positiva e tende a
quando .
Passo 5
Usando
e a desigualdade do passo anterior, obtemos
Isto é,
Como a desigualdade estrita à esquerda implica também a desigualdade não estrita, posso escolher
e
e afirmar que
Portanto já tenho os dois limites (inferior e superior) que provam que a sequência é limitada.
Passo 6
Uma observação alternativa (útil na prova): da desigualdade
segue que
para todo
, logo posso escolher
e ter
. Isso é outra forma de ver a limitação (uma única constante que limita o valor absoluto).
Passo 7
Conclusão e justificativa final, de forma direta e precisa: existem constantes reais
e
tais que
para todo
. Logo a sequência
é limitada.
Resposta
1