Considere a sequência dada por
Parte 3) [10%] Das Partes 1 e 2 , é possível utilizar o Teorema da Sequência Monótona e concluir que a sequência converge?
Insira aqui a sua opção
(se SIM) ou
(se NÃO) □
Parte 3) [10%] Das Partes 1 e 2 , é possível utilizar o Teorema da Sequência Monótona e concluir que a sequência converge?
Insira aqui a sua opção
Passo 1
O enunciado dá a sequência
(para
) e pergunta explicitamente se, a partir das Partes 1 e 2, é possível usar o Teorema da Sequência Monótona para concluir que a sequência converge.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A fórmula geral da sequência é
- A pergunta pede uma resposta binária:
se SIM (é possível usar o teorema) ou se NÃO.
Passo 2
Vou explicar o que é o Teorema da Sequência Monótona (para você lembrar bem e saber aplicar na prova). O enunciado da versão que usaremos é:
Explicando com calma:
- Monótona decrescente significa que, para todo
, (estritamente decrescente se estrito). Monótona crescente é o oposto: . - Limitada significa que existe um número real
tal que para todo (limitada superiormente) e/ou existe tal que para todo (limitada inferiormente). - Para aplicar o teorema e concluir convergência, precisamos saber (ou provar) duas coisas sobre
: (i) que é monótona; (ii) que é limitada. Se as Partes 1 e 2 já deram essas duas informações, então sim, podemos aplicar o teorema.
Passo 3
Agora, vou mostrar passo a passo que a sequência dada é monótona (em fato, estritamente decrescente). Um jeito direto e comum é calcular a diferença
e verificar o sinal.
Escrevendo
, temos
Colocando na mesma fração (denominador comum
):
Calcule o numerador devagar:
Portanto
Como para todo
o denominador
é positivo, segue que
Logo a sequência
é estritamente decrescente (portanto monótona).
Passo 4
Agora vou provar que
é limitada. Há duas maneiras simples de ver limites superior e inferior; farei ambas de forma clara.
- Encontrar um limite inferior imediato: somando
em ambos os lados da expressão e manipulando:
Como
para todo
, temos
, isto é,
Portanto
é uma cota inferior (não atingida, mas serve como limite inferior): a sequência é limitada inferiormente por
.
- Encontrar uma cota superior simples: calcule o primeiro termo
Como acabamos de provar que a sequência é decrescente, todos os termos seguintes são menores ou iguais ao primeiro termo. Assim para todo
,
Logo
é uma cota superior. Concluímos que
é limitada (tanto inferiormente quanto superiormente): toda a sequência fica no intervalo aberto
.
Passo 5
Juntando os resultados:
- Mostramos que
é monótona (estritamente decrescente). - Mostramos que
é limitada (tem cota inferior e cota superior ).
Portanto, atendendo às hipóteses do Teorema da Sequência Monótona, podemos concluir que
converge. (Como comentário extra: a expressão
revela que o limite é
, pois
quando
.)
Resposta
1