Considere a sequência dada por a_{n}=\frac{-4 n}{n+7}
Parte 3) [10%] Das Partes 1 e 2 , é possível utilizar o Teorema da Sequência Monótona e concluir que a sequência converge?
Insira aqui a sua opção \mathbf{1} (se SIM) ou \mathbf{0} (se NÃO) □

Passo 1

O enunciado dá a sequência \;a_{n}=\dfrac{-4n}{n+7}\; (para n\in\mathbb{N}) e pergunta explicitamente se, a partir das Partes 1 e 2, é possível usar o Teorema da Sequência Monótona para concluir que a sequência converge.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A fórmula geral da sequência é \;a_{n}=\dfrac{-4n}{n+7}\;.
  • A pergunta pede uma resposta binária: \mathbf{1} se SIM (é possível usar o teorema) ou \mathbf{0} se NÃO.

Passo 2

Vou explicar o que é o Teorema da Sequência Monótona (para você lembrar bem e saber aplicar na prova). O enunciado da versão que usaremos é:
\text{Se uma sequência }(a_n)\text{ é monótona (não crescente ou não decrescente) e é limitada (por cima ou por baixo conforme o caso), então }(a_n)\text{ converge.}êéóããéã
Explicando com calma:
  • Monótona decrescente significa que, para todo n, \;a_{n+1}\le a_n\; (estritamente decrescente se \;< estrito). Monótona crescente é o oposto: \;a_{n+1}\ge a_n\;.
  • Limitada significa que existe um número real M tal que \;a_n\le M\; para todo n (limitada superiormente) e/ou existe m tal que \;a_n\ge m\; para todo n (limitada inferiormente).
  • Para aplicar o teorema e concluir convergência, precisamos saber (ou provar) duas coisas sobre (a_n): (i) que é monótona; (ii) que é limitada. Se as Partes 1 e 2 já deram essas duas informações, então sim, podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Agora, vou mostrar passo a passo que a sequência dada é monótona (em fato, estritamente decrescente). Um jeito direto e comum é calcular a diferença \;a_{n+1}-a_n\; e verificar o sinal.
Escrevendo \;a_{n+1}=\dfrac{-4(n+1)}{(n+1)+7}=\dfrac{-4(n+1)}{n+8}\;, temos
a_{n+1}-a_n = -4\left(\dfrac{n+1}{n+8}-\dfrac{n}{n+7}\right).
Colocando na mesma fração (denominador comum (n+8)(n+7)):
\dfrac{n+1}{n+8}-\dfrac{n}{n+7} = \dfrac{(n+1)(n+7)-n(n+8)}{(n+8)(n+7)}.
Calcule o numerador devagar:
(n+1)(n+7)-n(n+8) = (n^2+8n+7)-(n^2+8n)=7.
Portanto
a_{n+1}-a_n = -4\cdot \dfrac{7}{(n+8)(n+7)} = -\dfrac{28}{(n+8)(n+7)}.
Como para todo n\in\mathbb{N} o denominador (n+8)(n+7) é positivo, segue que
a_{n+1}-a_n = -\dfrac{28}{(n+8)(n+7)} < 0 \quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Logo a sequência (a_n) é estritamente decrescente (portanto monótona).

Passo 4

Agora vou provar que (a_n) é limitada. Há duas maneiras simples de ver limites superior e inferior; farei ambas de forma clara.
  1. Encontrar um limite inferior imediato: somando 4 em ambos os lados da expressão e manipulando:
a_n + 4 = -\dfrac{4n}{n+7} + 4 = 4\left(1-\dfrac{n}{n+7}\right) =4\cdot\dfrac{n+7-n}{n+7} =4\cdot\dfrac{7}{n+7} =\dfrac{28}{n+7}.
Como \dfrac{28}{n+7}>0 para todo n, temos a_n+4>0, isto é,
a_n > -4\quad\text{para todo }n.
Portanto -4 é uma cota inferior (não atingida, mas serve como limite inferior): a sequência é limitada inferiormente por -4.
  1. Encontrar uma cota superior simples: calcule o primeiro termo
a_1=\dfrac{-4\cdot 1}{1+7}=-\dfrac{4}{8}=-\dfrac{1}{2}.
Como acabamos de provar que a sequência é decrescente, todos os termos seguintes são menores ou iguais ao primeiro termo. Assim para todo n,
a_n \le a_1 = -\dfrac{1}{2}.
Logo -\tfrac{1}{2} é uma cota superior. Concluímos que (a_n) é limitada (tanto inferiormente quanto superiormente): toda a sequência fica no intervalo aberto (-4,\,-\tfrac{1}{2}].

Passo 5

Juntando os resultados:
  • Mostramos que (a_n) é monótona (estritamente decrescente).
  • Mostramos que (a_n) é limitada (tem cota inferior -4 e cota superior -\tfrac{1}{2}).
Portanto, atendendo às hipóteses do Teorema da Sequência Monótona, podemos concluir que (a_n) converge. (Como comentário extra: a expressão \;a_n=-4+\dfrac{28}{n+7}\; revela que o limite é -4, pois \dfrac{28}{n+7}\to 0 quando n\to\infty.)

Resposta

1

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