Considere a sequência dada por
a_{1}=2 \text { e } a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+4\right), n \geq 1
(a) Determine os cinco primeiros termos desta sequência e o 101^{\circ} termo.
(b) A sequência é monótona? Justifique!
(c) A sequência é convergente? Justifique!

Passo 1

O enunciado define a sequência recursiva
a_{1}=2,\qquad a_{n+1}=\frac12\bigl(a_{n}+4\bigr)\quad(n\ge1).
Vamos primeiro gerar termos para ver o padrão, depois resolver a recorrência para achar a fórmula geral e o termo de ordem 101, em seguida estudar monotonicidade e convergência.

Passo 2

Calculemos os cinco primeiros termos usando a fórmula a_{n+1}=(a_{n}+4)/2:
a_{1}=2,
a_{2}=\frac{2+4}{2}=3,
a_{3}=\frac{3+4}{2}=3{,}5,
a_{4}=\frac{3{,}5+4}{2}=3{,}75,
a_{5}=\frac{3{,}75+4}{2}=3{,}875.

Passo 3

Para obter a fórmula geral, note que o ponto‐fixo da recorrência satisfaz
L=\frac{L+4}{2}\implies 2L=L+4\implies L=4.
Escrevendo b_{n}=a_{n}-4 temos
b_{n+1}=\frac{a_{n}+4}{2}-4=\frac{a_{n}-4}{2}=\frac{b_{n}}{2},
logo b_{n}=b_{1}\bigl(\tfrac12\bigr)^{n-1}=(2-4)\bigl(\tfrac12\bigr)^{n-1}=-2\bigl(\tfrac12\bigr)^{n-1}. Portanto
a_{n}=4-2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1}.
Em particular,
a_{101}=4-2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{100}.

Passo 4

Para verificar monotonicidade, observe que
a_{n+1}-a_{n} =\frac{a_{n}+4}{2}-a_{n} =\frac{4-a_{n}}{2}.
Como a_{1}=2<4 e a fórmula geral mostra que a_{n}<4 para todo n, segue a_{n+1}-a_{n}>0. Logo a sequência é estritamente crescente.

Passo 5

A sequência é crescente e tem limite superior 4 (pois a_{n}<4). Pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge, e do cálculo do ponto‐fixo ou da fórmula geral vemos que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=4.

Resposta

(a) a_{1}=2, a_{2}=3, a_{3}=3{,}5, a_{4}=3{,}75, a_{5}=3{,}875 e
a_{101}=4-2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{100}.
(b) A sequência é estritamente crescente.
(c) A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=4.

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