Considere a sequência definida por
a_{n}=\frac{2 n+1}{n} .
(a) Calcule os quatro primeiros termos.
(b) Determine o limite da sequência, se existir.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{2n+1}{n}
e pede duas coisas:
  • (a) calcular os quatro primeiros termos a_{1},a_{2},a_{3},a_{4};
  • (b) determinar o limite da sequência quando n\to\infty, se existir.
As informações relevantes: a fórmula geral de a_{n} está explícita e vale para todo n\in\mathbb{N} (assume-se n\ge 1). Nada mais foi dado nem é necessário.

Passo 2

Calcular os primeiros termos significa substituir n por 1,2,3,4 na fórmula e simplificar. Vou fazer termo a termo, mostrando a conta passo a passo.
Para n=1:
a_{1}=\frac{2\cdot 1+1}{1}=\frac{2+1}{1}=\frac{3}{1}=3.
Para n=2:
a_{2}=\frac{2\cdot 2+1}{2}=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}.
Para n=3:
a_{3}=\frac{2\cdot 3+1}{3}=\frac{6+1}{3}=\frac{7}{3}.
Para n=4:
a_{4}=\frac{2\cdot 4+1}{4}=\frac{8+1}{4}=\frac{9}{4}.
Se quiser uma leitura decimal rápida: a_{1}=3, a_{2}=2,5, a_{3}\approx2,333\ldots, a_{4}=2,25.

Passo 3

Para estudar o limite quando n\to\infty é útil reescrever a_{n} isolando a parte que depende de n de forma simples. Faço a divisão do numerador por n:
a_{n}=\frac{2n+1}{n}=\frac{2n}{n}+\frac{1}{n}=2+\frac{1}{n}.
Explicando essa manipulação: dividir cada termo do numerador por n \frac{2n}{n}=2 e \frac{1}{n} permanece, somando resulta 2+\frac{1}{n}.

Passo 4

Agora uso propriedades básicas de limites (essas propriedades são padrão e dizem que o limite da soma é a soma dos limites, e que constantes saem do limite). Observações úteis:
  • O limite de uma constante 2 quando n\to\infty é 2.
  • O limite de \dfrac{1}{n} quando n\to\infty é 0: intuitivamente porque os termos \dfrac{1}{n} ficam cada vez menores; formalmente, dado \varepsilon>0 basta escolher N>\dfrac{1}{\varepsilon} para garantir que, para todo n\ge N, \left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\varepsilon.
Aplicando isso a a_{n}=2+\dfrac{1}{n}, temos
\lim_{n\to\infty}a_{n}= \lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=2+0=2.

Passo 5

Interpretação final e comentário útil para a prova: a sequência tende para 2 vindo de cima, porque \dfrac{1}{n}>0 para todo n, logo a_{n}=2+\dfrac{1}{n}>2, e conforme n cresce a parcela \dfrac{1}{n} diminui a zero. Isso também explica por que os quatro primeiros termos calculados eram maiores que 2 e decrescentes.

Resposta

(a) a_{1}=3,\;a_{2}=\dfrac{5}{2},\;a_{3}=\dfrac{7}{3},\;a_{4}=\dfrac{9}{4}
(b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=2

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