(a) Calcule os quatro primeiros termos.
(b) Determine o limite da sequência, se existir.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{2n+1}{n}
e pede duas coisas:
(a) calcular os quatro primeiros termos a_{1},a_{2},a_{3},a_{4};
(b) determinar o limite da sequência quando n\to\infty, se existir.
As informações relevantes: a fórmula geral de a_{n} está explícita e vale para todo n\in\mathbb{N} (assume-se n\ge 1). Nada mais foi dado nem é necessário.
Passo 2
Calcular os primeiros termos significa substituir n por 1,2,3,4 na fórmula e simplificar. Vou fazer termo a termo, mostrando a conta passo a passo.
Explicando essa manipulação: dividir cada termo do numerador por n dá \frac{2n}{n}=2 e \frac{1}{n} permanece, somando resulta 2+\frac{1}{n}.
Passo 4
Agora uso propriedades básicas de limites (essas propriedades são padrão e dizem que o limite da soma é a soma dos limites, e que constantes saem do limite). Observações úteis:
O limite de uma constante 2 quando n\to\infty é 2.
O limite de \dfrac{1}{n} quando n\to\infty é 0: intuitivamente porque os termos \dfrac{1}{n} ficam cada vez menores; formalmente, dado \varepsilon>0 basta escolher N>\dfrac{1}{\varepsilon} para garantir que, para todo n\ge N, \left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\varepsilon.
Interpretação final e comentário útil para a prova: a sequência tende para 2 vindo de cima, porque \dfrac{1}{n}>0 para todo n, logo a_{n}=2+\dfrac{1}{n}>2, e conforme n cresce a parcela \dfrac{1}{n} diminui a zero. Isso também explica por que os quatro primeiros termos calculados eram maiores que 2 e decrescentes.