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Para qual valor (ou qual faixa de valores) o resultado da operação abaixo será armazenado como NaN em um computador, utilizando precisão dupla?
\frac{2}{-0.1875+x}
Exiba as etapas necessarias para justificar sua resposta.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar para quais valores (ou faixa de valores) de x a expressão
\frac{2}{-0,1875 + x}
será armazenada como NaN (Not a Number) num computador usando precisão dupla (IEEE 754 double).
Informações dadas e consideradas:
  • A expressão é \dfrac{2}{-0,1875 + x}.
  • A aritmética é a de ponto flutuante em precisão dupla (padrão IEEE 754).
  • Não há figuras nem outras restrições: vou assumir o comportamento padrão IEEE 754 para operações especiais (Inf, NaN, zeros com sinal, denormais).

Passo 2

Breve revisão didática (o que é NaN e quando aparece)
  • NaN (Not a Number) é um valor especial do padrão IEEE 754 que representa resultados indefinidos/invalidos. Exemplos típicos que produzem NaN: 0/0, \infty - \infty, \infty/\infty, raiz quadrada de número negativo (no domínio real), ou qualquer operação que envolva um NaN deve propagar NaN.
  • Divisão por zero com numerador não nulo (por exemplo 2/0) não produz NaN; produz um infinito com sinal ( +\infty ou -\infty), segundo IEEE 754.
  • Soma de um número finito com +\infty ou -\infty \pm\infty (não dá \infty-\infty salvo o caso de somar dois infinitos de sinais opostos).
  • Se uma das entradas da operação for NaN, o resultado normalmente é NaN (propagação de NaN).

Passo 3

Identificar casos potenciais que podem gerar NaN na expressão
  • A expressão é \dfrac{2}{-0,1875 + x}. Possíveis fontes de NaN:
    1. x já for NaN — aí -0,1875 + x é NaN e 2/(\text{NaN}) é NaN (propagação).
    2. -0,1875 + x for uma expressão inválida que gere NaN (por exemplo \infty - \infty). Vou verificar se isso pode ocorrer com algum x.
    3. Outras operações especiais (underflow/overflow) não geram NaN por si só aqui: underflow gera subnormais ou zero, overflow pode gerar \pm\infty, mas nenhum desses é NaN a menos que a operação seja inválida.

Passo 4

Analisar o caso -0,1875 + x = 0 (divisão por zero)
  • Se -0,1875 + x = 0, então o denominador é zero e a operação é 2/0.
  • Segundo IEEE 754, 2/0 com numerador positivo produz \pm\infty, não NaN. O sinal de infinito depende do sinal do zero do denominador:
    • Se o denominador for +0 então 2/+0 = +\infty.
    • Se o denominador for -0 então 2/(-0) = -\infty.
  • Portanto o caso -0,1875 + x = 0 (ou seja x = 0,1875) não gera NaN — gera infinito.
Observação útil: 0,1875 = \dfrac{3}{16} é exatamente representável em binário e, portanto, se x for a constante de ponto flutuante igual a 0,1875, a soma -0,1875 + x será exatamente zero na aritmética em ponto flutuante.

Passo 5

Analisar o caso x = \pm\infty
  • Se x = +\infty então -0,1875 + x = +\infty e a divisão 2/(+\infty) = +0 (zero assinado positivo). Não é NaN.
  • Se x = -\infty então -0,1875 + x = -\infty e 2/(-\infty) = -0. Também não é NaN.
  • O caso que geraria \infty - \infty (que produz NaN) exigiria somar dois infinitos de sinais opostos; aqui somamos um número finito com um infinito, então isso não ocorre.

Passo 6

Concluir quais valores de x resultam em NaN
  • Das possibilidades, a única forma de -0,1875 + x ser NaN é se x já for NaN (ou se x for resultado de alguma operação anterior que seja NaN).
  • Assim, a expressão só produzirá NaN quando x for NaN (qualquer NaN: quiet ou signaling — no caso de signaling NaN, o comportamento também é que o resultado será NaN, possivelmente com uma exceção sinalizada).
  • Todos os outros valores (qualquer x finito diferente de 0,1875, x=0,1875, x=\pm\infty) produzem um resultado que é um número finito, zero assinado, ou infinito, mas nunca NaN.

Resposta

x=\text{NaN}

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