Desenhe e calcule a área entre as funções f(t)=\frac{1}{t^{2}} e g(t)=\frac{1}{t^{3}} no intervalo entre o número 1 e o número x, para x \in(0, \infty).

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede a área entre elas no intervalo entre 1 e x, com x\in(0,\infty). Dados e pedido:
  • Funções: f(t)=\dfrac{1}{t^{2}} e g(t)=\dfrac{1}{t^{3}}.
  • Intervalo de integração: do ponto t=1 até o ponto t=x, onde x é um parâmetro positivo.
  • Pedidos: (a) desenhar (descrever) as curvas e (b) calcular a área da região limitada por essas duas curvas entre t=1 e t=x.

Passo 2

Primeiro é importante saber qual função fica acima da outra para escolher a expressão dentro da integral (topo menos base). Vamos comparar f e g. Calculo a diferença:
f(t)-g(t)=\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t^{3}}=\frac{t-1}{t^{3}}.
Explicando isso com calma: multiplicou-se numerador e denominador para juntar as frações em um só denominador t^{3}. O sinal dessa expressão depende só do fator (t-1) porque t^{3}>0 para t>0. Então:
  • Se t>1 então t-1>0 e assim f(t)-g(t)>0, ou seja f(t)>g(t).
  • Se 0<t<1 então t-1<0 e assim f(t)-g(t)<0, ou seja g(t)>f(t).
    Em particular, ambas as curvas se cruzam em t=1 (porque aí f(1)=g(1)=1).

Passo 3

Regra para área entre duas curvas (revisão didática): se numa subintervalo [a,b] a função h_{1}(t) está acima de h_{2}(t), a área entre elas é
\text{área}=\int_{a}^{b}\big(h_{1}(t)-h_{2}(t)\big)\,dt.á
No nosso caso o “topo” depende de t em relação a 1. Como o enunciado pede a área entre t=1 e t=x, há duas possibilidades:
  • Se x\ge 1, o ponto x fica à direita de 1 e em todo [1,x] vale f(t)\ge g(t). Então a área é
A(x)=\int_{1}^{x}\Big(\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t^{3}}\Big)\,dt.
  • Se 0<x<1, o ponto x fica à esquerda de 1 e em todo [x,1] vale g(t)\ge f(t). Para manter sempre a integral com integrando positivo, escrevemos
A(x)=\int_{x}^{1}\Big(\frac{1}{t^{3}}-\frac{1}{t^{2}}\Big)\,dt.
Outra forma mais compacta é escrever A(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\big|\tfrac{1}{t^{2}}-\tfrac{1}{t^{3}}\big|\,dt, mas para calcular é prático separar os casos acima.

Passo 4

Vamos calcular a integral no caso genérico usando antiderivadas. Calcule a primitiva de \dfrac{1}{t^{2}}-\dfrac{1}{t^{3}}:
\int\Big(\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t^{3}}\Big)\,dt =\int t^{-2}\,dt-\int t^{-3}\,dt =-t^{-1}+\frac{1}{2}t^{-2}+C.
Escrevendo em frações:
\int\Big(\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t^{3}}\Big)\,dt=-\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^{2}}+C.
Para a outra integranda \dfrac{1}{t^{3}}-\dfrac{1}{t^{2}} a primitiva é
\int\Big(\frac{1}{t^{3}}-\frac{1}{t^{2}}\Big)\,dt =\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^{2}}+C,
o que é coerente (é apenas o negativo da primitiva anterior, como deve ser).

Passo 5

Avalio a integral em ambos os casos; vai aparecer a mesma expressão final:
Caso 1: x\ge 1.
A(x)=\left[-\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^{2}}\right]_{t=1}^{t=x} =\Big(-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}\!}\Big)-\Big(-1+\frac{1}{2}\Big) =-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}+\frac{1}{2}.
Caso 2: 0<x<1.
A(x)=\left[\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^{2}}\right]_{t=x}^{t=1} =\Big(1-\frac{1}{2}\Big)-\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{2}\!}\Big) =\frac{1}{2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}.
Repare que as duas expressões são idênticas; portanto a mesma fórmula vale para todo x>0:
A(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 6

Simplificação e forma elegante: fatorando a expressão dá uma identidade bonita:
A(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}=\frac{1}{2}\Big(1-\frac{1}{x}\Big)^{2}.
Isso mostra que a área é sempre não-negativa (como deveria ser) e depende de x por meio do quadrado da diferença 1-\dfrac{1}{x}.

Passo 7

Descrição do desenho (como você pode rascunhar rápido na prova):
  • Ambas as curvas são positivas para t>0 e decrescentes quando t aumenta.
  • Em t=1 as duas curvas se encontram porque f(1)=g(1)=1.
  • Para t>1 a curva f(t)=1/t^{2} está acima de g(t)=1/t^{3}.
  • Para 0<t<1 a curva g(t)=1/t^{3} está acima de f(t)=1/t^{2}.
  • Próximo de t=0^{+} ambas vão para +\infty, mas g cresce mais rápido; quando t\to\infty ambas vão a 0, com g aproximando-se de 0 mais rapidamente.
    Rascunhe dois ramos decrescentes que se cruzam em (1,1) e sombreie a região entre t=1 e t=x.

Resposta

\displaystyle A(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}=\frac{1}{2}\Big(1-\frac{1}{x}\Big)^{2}

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