Desenhe e calcule a área entre as funções f(t)=\frac{1}{t^{2}} e g(t)=\frac{1}{t^{3}} no intervalo entre o número 1 e o número x, para x \in(0, \infty).
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede a área entre elas no intervalo entre 1 e x, com x\in(0,\infty). Dados e pedido:
Funções: f(t)=\dfrac{1}{t^{2}} e g(t)=\dfrac{1}{t^{3}}.
Intervalo de integração: do ponto t=1 até o ponto t=x, onde x é um parâmetro positivo.
Pedidos: (a) desenhar (descrever) as curvas e (b) calcular a área da região limitada por essas duas curvas entre t=1 e t=x.
Passo 2
Primeiro é importante saber qual função fica acima da outra para escolher a expressão dentro da integral (topo menos base). Vamos comparar f e g. Calculo a diferença:
Explicando isso com calma: multiplicou-se numerador e denominador para juntar as frações em um só denominador t^{3}. O sinal dessa expressão depende só do fator (t-1) porque t^{3}>0 para t>0. Então:
Se t>1 então t-1>0 e assim f(t)-g(t)>0, ou seja f(t)>g(t).
Se 0<t<1 então t-1<0 e assim f(t)-g(t)<0, ou seja g(t)>f(t).
Em particular, ambas as curvas se cruzam em t=1 (porque aí f(1)=g(1)=1).
Passo 3
Regra para área entre duas curvas (revisão didática): se numa subintervalo [a,b] a função h_{1}(t) está acima de h_{2}(t), a área entre elas é
Outra forma mais compacta é escrever A(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\big|\tfrac{1}{t^{2}}-\tfrac{1}{t^{3}}\big|\,dt, mas para calcular é prático separar os casos acima.
Passo 4
Vamos calcular a integral no caso genérico usando antiderivadas. Calcule a primitiva de \dfrac{1}{t^{2}}-\dfrac{1}{t^{3}}:
Isso mostra que a área é sempre não-negativa (como deveria ser) e depende de x por meio do quadrado da diferença 1-\dfrac{1}{x}.
Passo 7
Descrição do desenho (como você pode rascunhar rápido na prova):
Ambas as curvas são positivas para t>0 e decrescentes quando t aumenta.
Em t=1 as duas curvas se encontram porque f(1)=g(1)=1.
Para t>1 a curva f(t)=1/t^{2} está acima de g(t)=1/t^{3}.
Para 0<t<1 a curva g(t)=1/t^{3} está acima de f(t)=1/t^{2}.
Próximo de t=0^{+} ambas vão para +\infty, mas g cresce mais rápido; quando t\to\infty ambas vão a 0, com g aproximando-se de 0 mais rapidamente.
Rascunhe dois ramos decrescentes que se cruzam em (1,1) e sombreie a região entre t=1 e t=x.