Considere a sequência numérica
onde
é um número fixado maior ou igual a 2 .
(a) Mostre, usando indução matemática, que
para todo
.
(b) Observe que
Deduza daí que
para todo
.
(c) Mostre que
é convergente e que se
é tal que
, então
.
(d) Determine o valor de
.
(a) Mostre, usando indução matemática, que
(b) Observe que
(c) Mostre que
(d) Determine o valor de
Passo 1
O enunciado define a sequência
onde
é fixo.
Pediu-se:
(a) mostrar por indução que ;
(b) usar
Pediu-se:
(a) mostrar por indução que
(b) usar
para provar
;
(c) concluir convergência e obter a equação limite ;
(d) achar .
(c) concluir convergência e obter a equação limite
(d) achar
Passo 2
(a) Prova por indução de
.
Base :
, logo
pois
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base
Passo indutivo: suponha
e
Isso conclui
.
Passo 3
(b) Para provar monotonicidade, introduzimos o valor
que é a raiz positiva de
.
Mostramos por indução que :
Mostramos por indução que
-
: pois . - Supondo
, então
pela definição de
.
Agora, usando a identidade dada,
Agora, usando a identidade dada,
pois
e
. Logo
para todo
.
Passo 4
(c) Já que
é crescente e também está limitada acima por
, ela converge. Seja
Tomando limite na relação de recorrência
, obtemos
Passo 5
(d) As raízes de
são
Como
para todo
, o limite
é não negativo, logo