A sequência de Fibonacci ( f_{n} ) é definida indutivamente pondo f_{1}=f_{2}=1 \mathrm{e} f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n} para todo n \in \mathbb{N}. Tomando x_{n}=\frac{f_{n}}{f_{n+1}} para todo n \in \mathbb{N}, mostre que \left(x_{n}\right) converge para o único número real positivo c tal que c=\frac{1}{1+c}. c é conhecido como número de ouro.

Passo 1

O enunciado define a sequência de Fibonacci por
f_{1}=1,\quad f_{2}=1,\quad f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n},
e fixa
x_{n}=\frac{f_{n}}{f_{n+1}}.
Queremos mostrar que \bigl(x_{n}\bigr) converge para o único c>0 tal que
c=\frac{1}{1+c},
isto é, para c=(\sqrt{5}-1)/2, o número de ouro conjugado.

Passo 2

Vamos achar uma relação de recorrência para x_{n}. Usando a definição de f_{n+2},
x_{n+1}=\frac{f_{n+1}}{f_{n+2}} =\frac{f_{n+1}}{f_{n+1}+f_{n}} =\frac{1}{1+\frac{f_{n}}{f_{n+1}}} =\frac{1}{1+x_{n}}.

Passo 3

Mostramos que, a partir de n=2, todos os x_{n} ficam em (0,1), na verdade em \bigl(\tfrac12,1\bigr).
  1. x_{2}=f_{2}/f_{3}=1/2.
  2. Se 0<x_{n}<1, então
x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}
satisfaz \tfrac12<x_{n+1}<1.
Por indução, para todo n\ge2 temos x_{n}\in\bigl[\tfrac12,1\bigr). Logo \bigl(x_{n}\bigr) é limitada.

Passo 4

Definimos c>0 como solução de
c=\frac{1}{1+c}.
Da relação de passo 2 segue também
x_{n+2} =\frac{1}{1+x_{n+1}} =\frac{1}{1+\frac{1}{1+x_{n}}} =\frac{1+x_{n}}{2+x_{n}}.
Então
x_{n+2}-x_{n} =\frac{1+x_{n}}{2+x_{n}}-x_{n} =\frac{1 - x_{n}-x_{n}^{2}}{2+x_{n}} =\frac{1 - x_{n}(1+x_{n})}{2+x_{n}}.
Note que 1 - x(1+x) anula-se exatamente em x=c e é positiva para x<c e negativa para x>c. Como \,x_{2}=\tfrac12<c e x_{3}=\tfrac23>c, obtemos:
  • A subsequência par \bigl(x_{2k}\bigr) é crescente e permanece abaixo de c.
  • A subsequência ímpar \bigl(x_{2k+1}\bigr) é decrescente e permanece acima de c.
    Cada uma delas, sendo monótona e limitada, converge; e os limites devem coincidir, forçando a convergência de toda \bigl(x_{n}\bigr) para c.

Passo 5

Para achar c, resolvemos
c=\frac{1}{1+c} \quad\Longrightarrow\quad c(1+c)=1 \quad\Longrightarrow\quad c^{2}+c-1=0.
A única raiz positiva é
c=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.

Resposta

A sequência \bigl(x_{n}\bigr) converge para
c=\frac{\sqrt{5}-1}{2},
que é o único número real positivo satisfazendo c=1/(1+c).

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