A sequência de Fibonacci (
) é definida indutivamente pondo
para todo
. Tomando
para todo
, mostre que
converge para o único número real positivo
tal que
.
é conhecido como número de ouro.
Passo 1
O enunciado define a sequência de Fibonacci por
e fixa
Queremos mostrar que
converge para o único
tal que
isto é, para
, o número de ouro conjugado.
Passo 2
Vamos achar uma relação de recorrência para
. Usando a definição de
,
Passo 3
Mostramos que, a partir de
, todos os
ficam em
, na verdade em
.
-
. - Se
, então
satisfaz
.
Por indução, para todo temos
. Logo
é limitada.
Por indução, para todo
Passo 4
Definimos
como solução de
Da relação de passo 2 segue também
Então
Note que
anula-se exatamente em
e é positiva para
e negativa para
. Como
e
, obtemos:
- A subsequência par
é crescente e permanece abaixo de . - A subsequência ímpar
é decrescente e permanece acima de .
Cada uma delas, sendo monótona e limitada, converge; e os limites devem coincidir, forçando a convergência de todapara .
Passo 5
Para achar
, resolvemos
A única raiz positiva é
Resposta
A sequência
converge para
que é o único número real positivo satisfazendo
.