A sequência de Fibonacci (
) é definida indutivamente pondo
para todo
. Tomando
para todo
, mostre que
converge para o único número real positivo
tal que
.
é conhecido como número de ouro.
Passo 1
O enunciado define a sequência de Fibonacci por
e introduz
Precisamos mostrar que
converge para o único
que satisfaz
isto é, o número de ouro.
Passo 2
Vamos usar a relação de recorrência de
para achar uma recorrência em
.
Definimos então a função de iteração
de modo que
Passo 3
O limite
deve ser um ponto fixo de
, ou seja, satisfazer
Multiplicando em ambos os lados por
obtemos
A solução positiva dessa equação é
único
.
Passo 4
Observe que
é contínua e estritamente decrescente em
, pois
Logo, se
então
e se
então
. Em particular,
implica
ou seja, os termos ímpares ficam acima de
e os pares abaixo de
.
Passo 5
Para mostrar convergência, separamos em duas subsequências:
- Subsequência ímpar
.
Queremos ver que é decrescente e limitada inferiormente por.
Note que, para,
Comparando
equivale a
que é verdade sempre que
. Logo,
provando que
é decrescente e, por já sabermos
, está limitada abaixo por
.
- Subsequência par
.
Para, a mesma conta mostra que . Assim
ou seja,
é crescente e, sabendo
, está limitada acima por
.
Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, cada subsequência converge; como são monotônicas e limitadas, convergem para seus supremo/ínfimo. Chamemos
Passo 6
Como
e
é contínua, cada limite satisfaz o ponto fixo:
Mas já vimos que a única solução positiva de
é
. Portanto
Como ambas as subsequências convergem para o mesmo
, a sequência completa
converge para
.
Resposta
A sequência
converge para
único
tal que
.