A sequência de Fibonacci ( f_{n} ) é definida indutivamente pondo f_{1}=f_{2}=1 \mathrm{e} f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n} para todo n \in \mathbb{N}. Tomando x_{n}=\frac{f_{n}}{f_{n+1}} para todo n \in \mathbb{N}, mostre que \left(x_{n}\right) converge para o único número real positivo c tal que c=\frac{1}{1+c}. c é conhecido como número de ouro.

Passo 1

O enunciado define a sequência de Fibonacci por
f_{1}=f_{2}=1,\quad f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}
e introduz
x_{n}=\frac{f_{n}}{f_{n+1}}\quad(n\in\mathbb{N}).
Precisamos mostrar que \bigl(x_{n}\bigr) converge para o único c>0 que satisfaz
c=\frac{1}{1+c},
isto é, o número de ouro.

Passo 2

Vamos usar a relação de recorrência de f_{n} para achar uma recorrência em x_{n}.
x_{n+1} =\frac{f_{n+1}}{f_{n+2}} =\frac{f_{n+1}}{f_{n+1}+f_{n}} =\frac{1}{1+\frac{f_{n}}{f_{n+1}}} =\frac{1}{1+x_{n}}.
Definimos então a função de iteração
T(x)=\frac{1}{1+x},
de modo que
x_{n+1}=T\bigl(x_{n}\bigr).

Passo 3

O limite c deve ser um ponto fixo de T, ou seja, satisfazer
c=T\text{(c)}=\frac{1}{1+c}.
Multiplicando em ambos os lados por 1+c obtemos
c(1+c)=1 \;\Longrightarrow\; c^{2}+c-1=0.
A solução positiva dessa equação é
c=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\quad(\approx0,618),
único c>0.

Passo 4

Observe que T é contínua e estritamente decrescente em [0,\infty), pois
T'(x)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}<0.
Logo, se x>c então
x_{n}=x>c \;\Longrightarrow\; x_{n+1}=T(x)<T\text{(c)}=c,
e se x<c então x_{n+1}>c. Em particular, x_{1}=1>c implica
x_{2}<c,\;x_{3}>c,\;x_{4}<c,\dots
ou seja, os termos ímpares ficam acima de c e os pares abaixo de c.

Passo 5

Para mostrar convergência, separamos em duas subsequências:
  1. Subsequência ímpar \bigl(x_{2k+1}\bigr).
    Queremos ver que é decrescente e limitada inferiormente por c.
    Note que, para x>c,
T^{2}(x) =T\bigl(T(x)\bigr) =\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}} =\frac{1+x}{2+x}.
Comparando \frac{1+x}{2+x}<x equivale a
1+x < x(2+x) \;\Longleftrightarrow\; x^{2}+x-1>0,
que é verdade sempre que x>c. Logo,
x_{2k+3}=T^{2}\bigl(x_{2k+1}\bigr)<x_{2k+1},
provando que \bigl(x_{2k+1}\bigr) é decrescente e, por já sabermos x_{2k+1}>c, está limitada abaixo por c.
  1. Subsequência par \bigl(x_{2k}\bigr).
    Para x<c, a mesma conta mostra que \frac{1+x}{2+x}>x. Assim
x_{2k+2}=T^{2}\bigl(x_{2k}\bigr)>x_{2k},
ou seja, \bigl(x_{2k}\bigr) é crescente e, sabendo x_{2k}<c, está limitada acima por c.
Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, cada subsequência converge; como são monotônicas e limitadas, convergem para seus supremo/ínfimo. Chamemos
L_{\mathrm{ímpar}}=\lim_{k\to\infty}x_{2k+1}, \quad L_{\mathrm{par}}=\lim_{k\to\infty}x_{2k}.í

Passo 6

Como x_{n+1}=T(x_{n}) e T é contínua, cada limite satisfaz o ponto fixo:
L_{\mathrm{ímpar}}=T\bigl(L_{\mathrm{ímpar}}\bigr), \quad L_{\mathrm{par}}=T\bigl(L_{\mathrm{par}}\bigr).íí
Mas já vimos que a única solução positiva de L=1/(1+L) é \displaystyle c=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}. Portanto
L_{\mathrm{ímpar}}=L_{\mathrm{par}}=c.í
Como ambas as subsequências convergem para o mesmo c, a sequência completa \bigl(x_{n}\bigr) converge para c.

Resposta

A sequência \bigl(x_{n}\bigr) converge para
c=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},
único c>0 tal que c=\frac{1}{1+c}.

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