Considere a sequência de números reais
tal que
e
, para
. Nessas condições, prove que
, para todo
.
Passo 1
Estamos tratando de uma sequência
Passo 2
Verificamos as bases da indução:
Para
, temos
e pela fórmula proposta
, logo bate.
Para
, temos
e pela fórmula
, também bate.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para um dado
valha
e
Vamos mostrar que então vale
Passo 4
Passo indutivo: usamos a recorrência
Substituindo a hipótese:
Como
, isso fica
Assim, a fórmula vale para
.
Passo 5
Pela base da indução e pelo passo indutivo, concluímos que
para todo
.