Considere a sequência de números reais x1, x2, x3, ldots xn, ldots tal que x1=3, x2=5 e xn+1=3 xn-2 xn-1, para n>2. Nessas condições, prove que xn=2^n+1, para todo n in N.

Passo 1

Estamos tratando de uma sequência
definida por recorrência linear de segunda ordem, dada por , e . O objetivo é mostrar que para todo . Vamos usar prova por indução.

Passo 2

Verificamos as bases da indução:
Para , temos e pela fórmula proposta , logo bate.
Para , temos e pela fórmula , também bate.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para um dado valha
e
.
Vamos mostrar que então vale
.

Passo 4

Passo indutivo: usamos a recorrência
xk+1=3xk-2xk-1
Substituindo a hipótese:
xk+1=3(2^k+1)-2(2^k-1+1) =3cdot2^k+3-2cdot2^k-1-2
Como xk+1=3cdot2^k+3-2^k-2=2cdot2^k+1=2^k+1+1 , isso fica
Assim, a fórmula vale para .

Passo 5

Pela base da indução e pelo passo indutivo, concluímos que para todo .

Resposta

para todo .

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