Sejam x1, x2, x3, ldots xn números reais. Mostre que:
|x1+x2+x3+ldots+xn| <=|x1|+|x2|+|x3|+ldots+|xn|

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, ···, x_{n} $ e queremos mostrar que a soma dos valores absolutos desses números é sempre maior ou igual ao valor absoluto da soma deles. Em outras palavras:
x1, x2, x3, ldots, xn
Para provar isso, vamos usar um conceito chamado Desigualdade Triangular, que é fundamental em matemática, especialmente em geometria e análise.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Desigualdade Triangular. Ela nos diz que, para quaisquer dois números reais $ a $ e $ b $:
a
Isso significa que o valor absoluto da soma de dois números nunca é maior que a soma dos valores absolutos desses números. Essa ideia vai se estender para mais de dois números no nosso exercício.

Passo 3

Vamos começar aplicando a Desigualdade Triangular para dois números. Seja $ S = x_{1} + x_{2} + ··· + x_{n} $. Nosso objetivo é mostrar que $ |S| \leq |x_{1}| + |x_{2}| + ··· + |x_{n}| $.
Primeiro, consideremos os primeiros dois termos:
S = x1 + x2 + ldots + xn
Isso já está de acordo com a Desigualdade Triangular.

Passo 4

Agora, adicionamos o próximo termo $ x_{3} $ à soma:
x3
Usando novamente a Desigualdade Triangular:
|x1 + x2 + x3| = |(x1 + x2) + x3|
E sabemos que $ |x_{1} + x_{2}| \leq |x_{1}| + |x_{2}| $, então:
|(x1 + x2) + x3| <= |x1 + x2| + |x3|

Passo 5

Continuando esse processo, vamos adicionando um número de cada vez e aplicando a Desigualdade Triangular em cada etapa. Para $ n $ números, repetimos esse argumento até chegar à soma completa:
n
Isso mostra que o valor absoluto da soma é sempre menor ou igual à soma dos valores absolutos, independentemente de quantos termos temos na soma.

Resposta

Portanto, mostramos que para quaisquer números reais $ x_{1}, x_{2}, ···, x_{n} $:
x1, x2, ldots, xn

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