Sejam
números reais. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, ···, x_{n} $ e queremos mostrar que a soma dos valores absolutos desses números é sempre maior ou igual ao valor absoluto da soma deles. Em outras palavras:
Para provar isso, vamos usar um conceito chamado Desigualdade Triangular, que é fundamental em matemática, especialmente em geometria e análise.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Desigualdade Triangular. Ela nos diz que, para quaisquer dois números reais $ a $ e $ b $:
Isso significa que o valor absoluto da soma de dois números nunca é maior que a soma dos valores absolutos desses números. Essa ideia vai se estender para mais de dois números no nosso exercício.
Passo 3
Vamos começar aplicando a Desigualdade Triangular para dois números. Seja $ S = x_{1} + x_{2} + ··· + x_{n} $. Nosso objetivo é mostrar que $ |S| \leq |x_{1}| + |x_{2}| + ··· + |x_{n}| $.
Primeiro, consideremos os primeiros dois termos:
Isso já está de acordo com a Desigualdade Triangular.
Passo 4
Agora, adicionamos o próximo termo $ x_{3} $ à soma:
Usando novamente a Desigualdade Triangular:
E sabemos que $ |x_{1} + x_{2}| \leq |x_{1}| + |x_{2}| $, então:
Passo 5
Continuando esse processo, vamos adicionando um número de cada vez e aplicando a Desigualdade Triangular em cada etapa. Para $ n $ números, repetimos esse argumento até chegar à soma completa:
Isso mostra que o valor absoluto da soma é sempre menor ou igual à soma dos valores absolutos, independentemente de quantos termos temos na soma.
Resposta
Portanto, mostramos que para quaisquer números reais $ x_{1}, x_{2}, ···, x_{n} $: