integral0^1 / 2 x cos pi x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1/2 xcos(pi x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto de funções ( x e cos(pi x)).

Passo 2

Escolhemos, então, as partes para aplicação da fórmula de integração por partes: u = x e dv = cos(pi x),dx. Assim, temos du = dx e calculamos v como antiderivada de cos(pi x):
v = integral cos(pi x),dx = 1pisin(pi x)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral xcos(pi x),dx = u,v - integral v,du = xcdot1pisin(pi x) - integral 1pisin(pi x),dx

Passo 4

Agora calculamos integral sin(pi x),dx = -1picos(pi x). Substituindo de volta, obtemos a primitiva completa:
integral xcos(pi x),dx = xsin(pi x)pi + cos(pi x)pi^2 + C

Passo 5

Bastou avaliar essa primitiva nos limites de 0 a tfrac12:
em x=tfrac12 temos sin(pi/2)=1 e cos(pi/2)=0, gerando tfrac12pi;
em x=0 temos sin0=0 e cos0=1, gerando tfrac1pi^2. Daí
integral0^1/2 xcos(pi x),dx = 12pi - 1pi^2

Passo 6

Por fim, podemos deixar com denominador comum 2pi^2:
12pi - 1pi^2 = pi - 22pi^2

Resposta

pi - 22pi^2

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