Considere a sequência de termo geral dado por a_n = (1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)) / (2 * 4 * 6 * ... * (2n)). Faça o que se pede:
© Mostre que a_n é convergente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O objetivo é mostrar que essa sequência é convergente. Isso envolve entender conceitos de sequências e limites, e ver se existe um valor para o qual os termos da sequência se aproximam conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Observamos que o numerador é o produto dos primeiros números ímpares e o denominador é o produto dos primeiros números pares. Podemos reescrever esses produtos usando fatorial:
Aqui, usamos a relação que o produto dos números ímpares até pode ser expresso em termos de fatorial.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de conforme tende ao infinito. Para isso, podemos usar a aproximação de Stirling, que é útil para estimar fatoriais em valores grandes de :
Aplicando essa aproximação na expressão de :
Simplificando os termos, percebemos que grande parte se cancela e acabamos com:

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de conforme tende ao infinito:
Isso mostra que, à medida que aumenta, os termos da sequência se aproximam de zero.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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