Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
lim x 2 x^3-4 x2-x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 2 para a expressão . Vamos usar conceitos de limites e álgebra para resolver isso.

Passo 2

Vamos tentar substituir 2^3 - 4 times 22 - 2 = 8 - 80 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^3 - 4x = x(x^2 - 4) . Podemos fatorar por x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) :
x(x - 2)(x + 2)
Agora, percebemos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, o numerador fica:

Passo 4

Agora, substituímos o numerador fatorado na expressão original:
x(x - 2)(x + 2)2 - x
Note que x(x - 2)(x + 2)-(x - 2) = -x(x + 2) pode ser escrito como , então:
Aqui, cancelamos o termo que estava tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão para -2(2 + 2) = -2 times 4 = -8 , podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

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