Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 2 para a expressão
. Vamos usar conceitos de limites e álgebra para resolver isso.
Passo 2
Vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador
. Podemos fatorar por
:
Agora, percebemos que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, o numerador fica:
Passo 4
Agora, substituímos o numerador fatorado na expressão original:
Note que
pode ser escrito como
, então:
Aqui, cancelamos o termo
que estava tanto no numerador quanto no denominador.
Passo 5
Agora que simplificamos a expressão para
, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.