Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
(j) y = 1 / (1 - cos(x)), de 0 <= x < pi/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área das regiões limitadas pela curva no intervalo de . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Precisaremos conhecer um pouquinho sobre integração e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a área que queremos encontrar está representada pela integral definida da função nesse intervalo. Então, a área é:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. Sabemos que:
Portanto, a função fica:

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Podemos fatorar o para fora da integral:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 6

Sabemos que a integral de em relação a é:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
  • Sabemos que , então:
  • é o cosseno de 0 dividido pelo seno de 0, ou seja, , que é infinito.
Portanto:

Resposta

A área das regiões é infinita; não existe uma área finita para o intervalo dado.

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