Considere a sequência de termo geral dado por an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2 n.
Mostre que ( an ) é estritamente decrescente;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida pelo termo geral $ a_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} $. O objetivo é mostrar que essa sequência é estritamente decrescente, ou seja, que cada termo é menor que o anterior. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e como comparar termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a expressão $ a_{n} $. O numerador $ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1) $ é o produto dos primeiros $ n $ números ímpares, e o denominador $ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n $ é o produto dos primeiros $ n $ números pares. Isso pode ser representado de forma mais compacta usando produtos ou até mesmo fatoriais.

Passo 3

Para mostrar que a sequência é estritamente decrescente, precisamos comparar $ a_{n+1} $ com $ a_{n} $ e mostrar que $ a_{n+1} < a_{n} $ para todo $ n $. Vamos escrever $ a_{n+1} $ em termos de $ a_{n} $:
an+1
Observamos que $ a_{n+1} $ inclui mais um fator no numerador e no denominador em comparação com $ a_{n} $.

Passo 4

Podemos expressar $ a_{n+1} $ em termos de $ a_{n} $ multiplicando $ a_{n} $ por um fator adicional:
an+1
Isso acontece porque adicionamos o termo $ (2n+1) $ no numerador e $ 2(n+1) $ no denominador.

Passo 5

Agora, vamos analisar o fator 2n+12(n+1). Queremos mostrar que esse fator é menor que 1 para todo $ n \geq 1 $:
n >= 1
Como $ \frac{1}{2n+2} $ é sempre positivo, temos que $ \frac{2n+1}{2(n+1)} < 1 $.

Passo 6

Dado que $ a_{n+1} = a_{n} \cdot \frac{2n+1}{2(n+1)} $ e que $ \frac{2n+1}{2(n+1)} < 1 $, concluímos que $ a_{n+1} < a_{n} $. Portanto, a sequência $ a_{n} $ é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência $ a_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} $ é estritamente decrescente para todo $ n \geq 1 $.

Exercícios relacionados