Considere a sequência de termo geral dado por
.
Mostre que (
) é estritamente decrescente;
Mostre que (
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida pelo termo geral $ a_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} $. O objetivo é mostrar que essa sequência é estritamente decrescente, ou seja, que cada termo é menor que o anterior. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e como comparar termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a expressão $ a_{n} $. O numerador $ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1) $ é o produto dos primeiros $ n $ números ímpares, e o denominador $ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n $ é o produto dos primeiros $ n $ números pares. Isso pode ser representado de forma mais compacta usando produtos ou até mesmo fatoriais.
Passo 3
Para mostrar que a sequência é estritamente decrescente, precisamos comparar $ a_{n+1} $ com $ a_{n} $ e mostrar que $ a_{n+1} < a_{n} $ para todo $ n $. Vamos escrever $ a_{n+1} $ em termos de $ a_{n} $:
Observamos que $ a_{n+1} $ inclui mais um fator no numerador e no denominador em comparação com $ a_{n} $.
Passo 4
Podemos expressar $ a_{n+1} $ em termos de $ a_{n} $ multiplicando $ a_{n} $ por um fator adicional:
Isso acontece porque adicionamos o termo $ (2n+1) $ no numerador e $ 2(n+1) $ no denominador.
Passo 5
Agora, vamos analisar o fator
. Queremos mostrar que esse fator é menor que 1 para todo $ n \geq 1 $:
Como $ \frac{1}{2n+2} $ é sempre positivo, temos que $ \frac{2n+1}{2(n+1)} < 1 $.
Passo 6
Dado que $ a_{n+1} = a_{n} \cdot \frac{2n+1}{2(n+1)} $ e que $ \frac{2n+1}{2(n+1)} < 1 $, concluímos que $ a_{n+1} < a_{n} $. Portanto, a sequência $ a_{n} $ é estritamente decrescente.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} $ é estritamente decrescente para todo $ n \geq 1 $.