Assinale a alternativa CORRETA.
(a) Se
é uma sequência convergente e
, então
é convergente.
(b) Se
é uma sequência convergente, então
é monótona.
© Se
é uma sequência limitada, então
é convergente.
(d) Se
é uma sequência monótona e limitada, então
é convergente.
(a) Se
(b) Se
© Se
(d) Se
Passo 1
Nesse exercício temos quatro afirmações sobre sequências numéricas e precisamos identificar qual delas é verdadeira. O conteúdo da matéria envolve definições de sequência convergente, sequência monótona, sequência limitada e, em especial, o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “Se
é convergente e
, então
é convergente.” Isso é falso. Basta um contraexemplo simples: seja
para todo
(logo
) e
. Temos
para todo
, mas
não converge.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “Se
é convergente, então
é monótona.” Também é falsa. Basta pensar em
, que converge a 0 mas não é monotônica.
Passo 4
Analisando a afirmação ©: “Se
é limitada, então
é convergente.” Novamente falsa. Um contraexemplo clássico é
, que é limitada (entre –1 e 1) mas não converge.
Passo 5
Analisando a afirmação (d): “Se
é monótona e limitada, então
é convergente.” Essa é justamente a afirmação do Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas, portanto é verdadeira.
Resposta
(d) Se
é monótona e limitada, então
é convergente.