Assinale a alternativa CORRETA.
(a) Se (an) é uma sequência convergente e an >= bn, então (bn) é convergente.
(b) Se (an) é uma sequência convergente, então (an) é monótona.
© Se (an) é uma sequência limitada, então (an) é convergente.
(d) Se (an) é uma sequência monótona e limitada, então (an) é convergente.

Passo 1

Nesse exercício temos quatro afirmações sobre sequências numéricas e precisamos identificar qual delas é verdadeira. O conteúdo da matéria envolve definições de sequência convergente, sequência monótona, sequência limitada e, em especial, o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Se l(anr) é convergente e an>= bn, então l(bnr) é convergente.” Isso é falso. Basta um contraexemplo simples: seja an=0 para todo n (logo anto0) e bn=(-1)^n. Temos an>= bn para todo n, mas bn não converge.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “Se l(anr) é convergente, então l(anr) é monótona.” Também é falsa. Basta pensar em an = (-1)^n/n, que converge a 0 mas não é monotônica.

Passo 4

Analisando a afirmação ©: “Se l(anr) é limitada, então l(anr) é convergente.” Novamente falsa. Um contraexemplo clássico é an = (-1)^n, que é limitada (entre –1 e 1) mas não converge.

Passo 5

Analisando a afirmação (d): “Se l(anr) é monótona e limitada, então l(anr) é convergente.” Essa é justamente a afirmação do Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas, portanto é verdadeira.

Resposta

(d) Se an é monótona e limitada, então an é convergente.

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