Considere a sequência
dada por:
em que
e
são sequências quaisquer. Demonstre que:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma sequência
e a gente precisa mostrar que a Z-transformada de
é o produto das Z-transformadas de
e
, ou seja
Isso cai na matéria de transformada Z e, em especial, na propriedade de convolução (em tempo discreto) virar multiplicação no domínio
. Para resolver, vamos usar:
- a definição de Z-transformada,
- a troca de ordem de somatório,
- mudança de variáveis nos índices para “desenrolar” a convolução.
Passo 2
Escreve a Z-transformada de
pela definição:
Substituindo
:
Passo 3
Agora a gente troca a ordem de somatório. Note que, como
para
, o termo
só “vale” quando
, mas a troca de soma continua válida:
Passo 4
Dentro dali, fazemos a mudança de variável
. Quando
vai de
até
,
vai de
até
. Então
Substituindo de volta em
:
Resposta
Logo, mostramos que
ou seja, a Z-transformada da convolução
é o produto das Z-transformadas de
e
.