(5,0) Considere a sequência y[k] dada por:
y[k]=summ=0^infty g[k-m] u[m]
em que g[k] e u[k] são sequências quaisquer. Demonstre que:
Zy[k]=G[z] U[z]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma sequência
y[k]=summ=0^inftyg[k-m],u[m]
e a gente precisa mostrar que a Z-transformada de Zy[k]=G[z];U[z] é o produto das Z-transformadas de e , ou seja
Isso cai na matéria de transformada Z e, em especial, na propriedade de convolução (em tempo discreto) virar multiplicação no domínio . Para resolver, vamos usar:
  1. a definição de Z-transformada,
  2. a troca de ordem de somatório,
  3. mudança de variáveis nos índices para “desenrolar” a convolução.

Passo 2

Escreve a Z-transformada de Y[z];=;sumk=0^inftyy[k],z^-k pela definição:
Y[z] =sumk=0^inftyl(summ=0^infty g[k-m],u[m]r)z^-k
Substituindo :

Passo 3

Agora a gente troca a ordem de somatório. Note que, como Y[z] =summ=0^infty u[m];sumk=0^infty g[k-m],z^-k para , o termo só “vale” quando , mas a troca de soma continua válida:

Passo 4

Dentro dali, fazemos a mudança de variável sumk=0^infty g[k-m],z^-k =sumn=0^infty g[n],z^-(n+m) =z^-msumn=0^infty g[n],z^-n =z^-m,G[z] . Quando Y[z] =summ=0^infty u[m];l(z^-mG[z]r) =G[z];summ=0^infty u[m],z^-m =G[z],U[z] vai de até , vai de até . Então
Substituindo de volta em :

Resposta

Logo, mostramos que
Zy[k]=Y[z]=G[z];U[z],
ou seja, a Z-transformada da convolução é o produto das Z-transformadas de e .

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