Seja a transformada de Laplace de x(t) dada por X(S)=(S+2) /(S^2+4 S+3). Assuma x(0)=0. Calcule a transformada de Laplace de y(t) assumindo que: y(t)=e^-3 t cdot x(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a transformada de Laplace de X(s)=s+2s^2+4s+3, , que é
y(t)=e^-3t,x(t)
sabendo que . Agora a gente quer a transformada de Laplace de
Isso envolve o conteúdo de “propriedade de mudança de sinal/decalagem em ” para a transformada de Laplace. Vamos usar essa propriedade e mandar ver nos cálculos.

Passo 2

A teoria fundamental aqui é:
Le^-a tx(t)(s)=X(s+a)
Ou seja, multiplicar por no tempo equivale a substituir por na função .

Passo 3

Aplicando direto:
Y(s)=Ly(t)(s) =Le^-3tx(t)(s) = X(s+3)
Então a gente pega
X(s)=s+2s^2+4s+3
e troca por .

Passo 4

Fazendo a troca no numerador:
s s+3 Longrightarrow (s+3)+2 = s+5
No denominador:
(s+3)^2 + 4(s+3) + 3 = s^2 + 6s + 9 + 4s + 12 + 3 = s^2 + 10s + 24

Passo 5

Se a gente quiser deixar bem factorizado, dá pra ver que
s^2 + 10s + 24 = (s+4)(s+6)
Logo, a transformada de Y(s)=s+5(s+4)(s+6) é

Resposta

boxedY(s)=s+5(s+4)(s+6)

Exercícios relacionados