Como engenheiro responsável pelo sistema de controle de uma usina nuclear, foi demandando o serviço de analisar a equação de um sistema de compensação que controla a temperatura do forno a fissão nuclear. O sistema de controle é baseado em um PI aplicado no set-point de temperatura, conforme equação a seguir:
m[k+1]=m[k]+kp(e[k+1]-e[k])+(ki T2)(e[k+1]+e[k])
em que e[k] representa o sinal de entrada e m[k] o sinal de saída do compensador digital, ki e kp são parâmetros.
(2,5) Obtenha M[z] / E[z], considerando condições iniciais nulas.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma lei de diferenças do tipo PI digital que manda o sinal de saída m[k+1] = m[k] + kpl(e[k+1] - e[k]r) + ki T2l(e[k+1] + e[k]r) em função do erro . A equação é:
Conteúdo: teoria de transformada e propriedades de deslocamento (em particular, quando as condições iniciais são nulas).
O que a gente vai precisar:
  • Saber como aplicar a transformada em cada termo.
  • Isolar em função de .

Passo 2

Vamos aplicar a transformada z,M(z) = M(z) + kpl(zE(z) - E(z)r) + ki T2l(zE(z) + E(z)r) em toda a equação, assumindo que todas as condições iniciais são zero (ou seja, e ).
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
    Fazendo a transformada de cada termo:

Passo 3

Agora é só juntar tudo e organizar. Primeiro, passo o z,M(z) - M(z) = kpl(z-1r)E(z) + ki T2l(z+1r)E(z) junto com o (z - 1),M(z), :
l[kp(z-1) + tfracki T2(z+1)r]E(z)
Do lado esquerdo fica
e do direito fatorando :

Passo 4

Pra terminar, a gente isola a função de transferência M(z)E(z) =kp(z-1) + tfracki T2(z+1),z-1, :

Resposta

boxed M(z)E(z) =kp,(z-1);+;dfracki T2,(z+1),z-1,

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