Seja a transformada de Laplace de x(t) dada por X(S)=(S+2) /(S^2+4 S+3). Assuma x(0)=0. Calcule a transformada de Laplace de y(t) assumindo que: y(t)=d x(t) / d t

Passo 1

O enunciado diz que a transformada de Laplace de x(t) é
X(s)=s+2s^2+4s+3
e que y(t)=ddt,x(t) . A gente quer achar a transformada de Laplace de
Lx'(t)(s)=s,X(s)-x(0)
O conteúdo aqui é a “propriedade da derivada” na transformada de Laplace:

Passo 2

Vamos usar essa propriedade:
Y(s)=Ly(t)(s)=Lx'(t)(s) =s,X(s)-x(0)

Passo 3

Como Y(s)=s,X(s) =s;s+2s^2+4s+3 , isso vira simplesmente

Passo 4

Se quiser, a gente pode simplificar essa fração. Primeiro note que o grau do numerador (2) é igual ao do denominador (2), então dá pra dividir:
s(s+2)=s^2+2s, s^2+4s+3
fazendo a divisão polinomial:
s^2+2ss^2+4s+3 =1+(s^2+2s)-(s^2+4s+3)s^2+4s+3 =1+-2s-3s^2+4s+3
E daí, fatorando o denominador -2s-3(s+1)(s+3) =As+1+Bs+3 e usando frações parciais:
Y(s) =1-1/2s+1-3/2s+3
Resolvendo e a gente encontra e .
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Resposta

boxedY(s)=s,s+2s^2+4s+3 ;=;1-tfrac12s+1-tfrac32s+3

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