Considere a série p - harmônica
 
É correto afirmar.
Escolha uma opção:
a. A sequência de somas parciais
 
é decrescente se
 
b. Se
 
a série converge. c. Se
 
a série converge e se
 
a série diverge. d. Se
 
a série diverge e se
 
a série converge.
Escolha uma opção:
a. A sequência de somas parciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a série p-harmônica, que é uma soma infinita da forma:
A gente precisa entender como essa série se comporta dependendo do valor de 
 . Para isso, vamos precisar conhecer o teste da série p, que nos ajuda a determinar se a série converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o teste da série p. Esse teste diz o seguinte:
- Se 
: A série p-harmônica converge. Isso significa que a soma das parcelas chega a um número finito.  - Se 
: A série p-harmônica diverge. Ou seja, a soma das parcelas cresce sem limites e não chega a um valor finito.  
Então, o comportamento da série depende diretamente do valor de 
 .
Passo 3
Agora, vamos analisar as opções do exercício uma por uma usando o que aprendemos sobre o teste da série p.
Opção a:
A sequência de somas parciaisé decrescente se
Na verdade, para 
 , a sequência de somas parciais é crescente, porque estamos sempre adicionando termos positivos que fazem a soma aumentar. Então, essa opção está errada.
Opção b:
Sea série converge.
Já aqui, sabemos que se 
 , a série é a famosa série harmônica, que diverge. Então, dizer que converge para 
  também está errado.
Opção c:
Sea série converge e sea série diverge.
Essa opção está alinhada com o teste da série p que discutimos. Ou seja, para 
  a série converge, e para 
  ela diverge. Portanto, essa opção está correta.
Opção d:
Sea série diverge e sea série converge.
Isso é o contrário do que sabemos pelo teste da série p. Então, essa opção está errada.
Resposta
A opção c é a correta.