Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cujas somas parciais são dadas por
s_{n}=\frac{n^{2}+2}{2 n^{2}+n+1}
(3,0)(\mathrm{a}) Por que a série converge? Qual é a sua soma?
(2,0)(b) Qual é o valor de \lim a_{n} ?

Passo 1

O enunciado nos dá as somas parciais da série \sum_{n=1}^{\infty} a_n:
s_n=\frac{n^{2}+2}{2 n^{2}+n+1}.
As perguntas são:
(a) Por que a série converge? Qual é a sua soma?
(b) Qual é o valor de \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n ?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para cada n, s_n é a soma parcial s_n=\sum_{k=1}^{n} a_k.
  • Saber o comportamento de s_n conforme n\to\infty permite decidir se a série converge e qual é sua soma (se o limite existir).

Passo 2

Lembrete conceitual (curtinho e claro): uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge justamente quando a sequência de somas parciais \{s_n\} tem limite finito. Nesse caso a soma da série é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}s_n.
Portanto, para responder (a) basta calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n. Como s_n é uma razão de polinômios de mesmo grau (grau 2 no numerador e no denominador), divide-se numerador e denominador por n^{2} para ver os termos que desaparecem quando n\to\infty:
s_n=\frac{n^{2}+2}{2 n^{2}+n+1} = \frac{1+\dfrac{2}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Agora toma-se o limite termo a termo: os termos \dfrac{2}{n^{2}}, \dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n^{2}} tendem a 0 quando n\to\infty. Logo
\lim_{n\to\infty} s_n = \frac{1+0}{2+0+0}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Conclusão sobre (a): como \{s_n\} converge para \dfrac{1}{2}, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{1}{2}.

Passo 5

Agora (b): relacionando a_n e s_n. Para n\ge 2 vale
a_n = s_n - s_{n-1},
e também a_1=s_1. Usando propriedade de limites (se s_n\to L então s_{n-1}\to L também), tem-se
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (s_n - s_{n-1}) = \lim_{n\to\infty} s_n - \lim_{n\to\infty} s_{n-1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 6

Pequena verificação numérica (só para dar confiança): \;s_1=\dfrac{1+2}{2+1+1}=\dfrac{3}{4}=0,75, \;s_2=\dfrac{6}{11}\approx0,545, \;s_3=\dfrac{11}{22}=\tfrac{1}{2}, \;s_4=\dfrac{18}{37}\approx0,486; esses valores mostram s_n oscilando em torno de 0,5 e se aproximando de 1/2, compatível com o que provamos. Vai dar certo na prova — respira e confia no processo!

Resposta

(a) A série converge e sua soma é \dfrac{1}{2}.
(b) \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0.

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