Considere a série
cujas somas parciais são dadas por
Por que a série converge? Qual é a sua soma?
(2,0)(b) Qual é o valor de
?
(2,0)(b) Qual é o valor de
Passo 1
O enunciado nos dá as somas parciais da série
:
As perguntas são:
(a) Por que a série converge? Qual é a sua soma?
(b) Qual é o valor de ?
(a) Por que a série converge? Qual é a sua soma?
(b) Qual é o valor de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para cada
, é a soma parcial . - Saber o comportamento de
conforme permite decidir se a série converge e qual é sua soma (se o limite existir).
Passo 2
Lembrete conceitual (curtinho e claro): uma série
converge justamente quando a sequência de somas parciais
tem limite finito. Nesse caso a soma da série é
Portanto, para responder (a) basta calcular
.
Passo 3
Calcular
. Como
é uma razão de polinômios de mesmo grau (grau
no numerador e no denominador), divide-se numerador e denominador por
para ver os termos que desaparecem quando
:
Agora toma-se o limite termo a termo: os termos
,
e
tendem a
quando
. Logo
Passo 4
Conclusão sobre (a): como
converge para
, a série
converge e sua soma é
Passo 5
Agora (b): relacionando
e
. Para
vale
e também
. Usando propriedade de limites (se
então
também), tem-se
Portanto
.
Passo 6
Pequena verificação numérica (só para dar confiança):
,
,
,
; esses valores mostram
oscilando em torno de
e se aproximando de
, compatível com o que provamos. Vai dar certo na prova — respira e confia no processo!
Resposta
(a) A série converge e sua soma é
.
(b) .
(b)