Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre seu limite.
a_{n}=\ln \left(2 n^{2}+n^{1 / 3}\right)-\ln \left(n^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado define a sequência a_{n} e pede duas coisas claras:
  • Determinar se a sequência \{a_n\} converge ou diverge.
  • Se convergir, encontrar o seu limite.
A sequência dada é
a_{n}=\ln\left(2 n^{2}+n^{1/3}\right)-\ln\left(n^{2}+1\right).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • Cada termo é a diferença de dois logaritmos naturais (função \ln).
  • Para todo n suficientemente grande os argumentos dos logaritmos são positivos, então a_n está bem definido para n inteiro positivo.

Passo 2

Primeira simplificação básica usando uma identidade de logaritmos: para quaisquer x>0 e y>0 vale \ln x - \ln y = \ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right). Aplicando aqui:
a_{n}=\ln\!\left(\dfrac{2 n^{2}+n^{1/3}}{\,n^{2}+1\,}\right).
Isto concentra a análise no comportamento do quociente dentro do \ln quando n\to\infty.

Passo 3

Para estudar o limite do quociente para n\to\infty, é conveniente dividir numerador e denominador por n^{2} (a maior potência de n que aparece). Fazendo isso:
\frac{2 n^{2}+n^{1/3}}{n^{2}+1} = \frac{n^{2}\left(2 + n^{1/3-2}\right)}{n^{2}\left(1 + n^{-2}\right)} = \frac{2 + n^{-5/3}}{1 + n^{-2}}.
Aqui foi usada a álgebra simples: n^{1/3}/n^{2}=n^{1/3-2}=n^{-5/3}.

Passo 4

Agora analisamos os termos pequenos:
  • \displaystyle n^{-5/3}\to 0 quando n\to\infty, porque 5/3>0.
  • \displaystyle n^{-2}\to 0 quando n\to\infty, porque 2>0.
Portanto os dois termos que aparecem como correções na fração tendem a zero.

Passo 5

Pelo acima,
\frac{2 + n^{-5/3}}{1 + n^{-2}} \longrightarrow \frac{2+0}{1+0}=2 \quad\text{quando }n\to\infty.
Justificativa curta: soma e quociente de limites funcionam aqui porque denominador tende a 1\neq 0.

Passo 6

Temos mostrado que o argumento do logaritmo converge:
\frac{2 n^{2}+n^{1/3}}{n^{2}+1} \xrightarrow[n\to\infty]{} 2.
A função \ln é contínua em (0,\infty). Então, aplicando continuidade, o limite do logaritmo é o logaritmo do limite:
a_{n}=\ln\!\left(\frac{2 n^{2}+n^{1/3}}{n^{2}+1}\right) \xrightarrow[n\to\infty]{} \ln(2).

Passo 7

Conclusão prática e interpretação curta: a sequência converge e a diferença dos logaritmos tende a \ln 2. Intuitivamente isso significa que, para n grande, 2 n^{2}+n^{1/3} comporta-se como 2 n^{2} e n^{2}+1 como n^{2}, então a razão tende a 2 e o logaritmo da razão tende a \ln 2.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=\ln 2

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