Cada termo é a diferença de dois logaritmos naturais (função \ln).
Para todo n suficientemente grande os argumentos dos logaritmos são positivos, então a_n está bem definido para n inteiro positivo.
Passo 2
Primeira simplificação básica usando uma identidade de logaritmos: para quaisquer x>0 e y>0 vale \ln x - \ln y = \ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right). Aplicando aqui:
Isto concentra a análise no comportamento do quociente dentro do \ln quando n\to\infty.
Passo 3
Para estudar o limite do quociente para n\to\infty, é conveniente dividir numerador e denominador por n^{2} (a maior potência de n que aparece). Fazendo isso:
Conclusão prática e interpretação curta: a sequência converge e a diferença dos logaritmos tende a \ln 2. Intuitivamente isso significa que, para n grande, 2 n^{2}+n^{1/3} comporta-se como 2 n^{2} e n^{2}+1 como n^{2}, então a razão tende a 2 e o logaritmo da razão tende a \ln 2.