Observação intuitiva: os sinais alternam entre negativo e positivo (por causa de (-1)^{n}), mas os valores absolutos ficam cada vez menores: \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{16},\ldots.
Passo 3
Calculemos o valor absoluto do termo a_n. Isso ajuda porque se os módulos tendem a zero, a própria sequência tende a zero:
Aqui usei que \left|(-1)^{n}\right|=1 para todo n.
Passo 4
Agora analisamos a sequência \left(\dfrac{1}{2^{n}}\right)_{n}. Esta é uma sequência geométrica com razão r=\tfrac{1}{2}, porque
\frac{1}{2^{n}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Propriedade importante (que vou justificar de forma simples): se 0<r<1 então r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Uma justificativa elementar: a sequência \big(r^{n}\big) é monótona decrescente e limitada inferiormente por 0, logo tem limite L\ge 0; como L=\lim r^{n}=\lim r\cdot r^{n} = rL e r\neq 1, segue L=0. Aplicando isso com r=\tfrac{1}{2} obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=0.
Passo 5
Usamos o teorema do sanduíche (teorema do confronto). Observamos que para todo n vale
Pelo teorema do sanduíche, a sequência no meio também tem limite 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
Passo 6
Vou dar também uma prova \varepsilon-N curta, para ver como seria formal na prova: seja \varepsilon>0. Queremos N tal que para todo n\ge N valha |a_n-0|<\varepsilon. Temos
|a_n|=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Escolha N com N>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln(1/2)}. Como \ln(1/2)<0, isso garante \left(\tfrac{1}{2}\right)^{N}<\varepsilon. Para todo n\ge N temos \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\le\left(\tfrac{1}{2}\right)^{N}<\varepsilon. Logo |a_n|<\varepsilon para n\ge N, o que prova que a_n\to 0.
Passo 7
Conclusão e interpretação final (de forma amigável): apesar da alternância de sinais, os módulos dos termos decaem geometricamente para zero com razão \tfrac{1}{2}, então a sequência converge. O limite é zero. Força aí — é um exemplo clássico que aparece muito em provas: alternância de sinal + fator geométrico com módulo menor que 1 implica convergência para zero.
Resposta
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.