De (a) à (i), r(t) denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t.
(i) o vetor velocidade;
(ii) o vetor aceleração.
r(t)=(3 cos 2 t, 3 sen 2 t, 8 t)

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo como vec r(t) = (3cos 2t,,3sin 2t,,8t) e pede (i) o vetor velocidade vec v(t) e (ii) o vetor aceleração vec a(t). Vamos usar derivação de vetores: vec v(t)=dfracdvec rdt e vec a(t)=dfracdvec vdt.

Passo 2

Derivando cada componente de vec r(t) para obter vec v(t): a derivada de 3cos 2t é -6sin 2t, a de 3sin 2t é 6cos 2t e a de 8t é 8. Portanto,
vec v(t)=(-6sin 2t,,6cos 2t,,8)

Passo 3

Agora derivamos vec v(t) para obter vec a(t): a derivada de -6sin 2t é -12cos 2t, a de 6cos 2t é -12sin 2t e a de 8 é 0. Assim,
vec a(t)=(-12cos 2t,,-12sin 2t,,0)

Resposta

A velocidade da partícula é vec v(t)=(-6sin 2t,,6cos 2t,,8) e a aceleração é vec a(t)=(-12cos 2t,,-12sin 2t,,0).

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