Considere os sinais abaixo. Calcule a Transformada de Fourier (TF), construa os diagramas de módulo e fase em função da frequência. Considere frequência positiva e negativa.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
Temos o sinal
O que o enunciado pede:
- Calcular a Transformada de Fourier
desse sinal. - Construir o diagrama de módulo
em função da frequência (considerando positiva e negativa). - Construir o diagrama de fase
em função da frequência (considerando positiva e negativa).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função contém um fator exponencial
multiplicado por um impulso de Dirac . - O impulso está deslocado em
.
Passo 2
Definição da Transformada de Fourier e propriedade do delta (aula rápida e aplicada).
Definição usada (forma padrão):
Aqui:
-
é a frequência angular (variando em ), a variável independente do domínio da TF. -
é a unidade imaginária ( ). -
é o sinal no tempo e é a TF no domínio da frequência.
Propriedade do impulso (sifting property) — passa a vida do exame:
Se for uma função suficientemente bem comportada e
um ponto real, então
Se
Ou seja, o impulso “amostra” a função no ponto onde está centrado. Essa propriedade é a chave aqui porque nosso
é um produto de uma função suave por um delta deslocado.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso sinal (passo a passo da conta).
Começamos da definição:
Reagrupando os fatores que dependem de
:
Agora usamos a propriedade do delta: a integral é o integrando avaliado em
. Logo,
Vamos simplificar o fator exponencial complexo:
. Assim
Separando a parte real do expoente e a parte puramente imaginária, podemos escrever de formas equivalentes úteis:
ou
Ambas são a mesma função, apenas escritas de maneiras ligeiramente diferentes — escolha a que você achar mais confortável para desenhar os diagramas.
Passo 4
Cálculo do módulo
(passo a passo, com explicação de conceitos).
Definição: para um número complexo
(com
e
real), o módulo é
. No nosso caso,
O fator
é real e positivo. O fator
tem módulo
porque
para qualquer
. Portanto
Observações importantes (úteis na prova):
- O módulo não depende de
: é constante para frequências positivas e negativas. - Em termos práticos, o diagrama de módulo é uma linha horizontal constante em
para todo .
Passo 5
Cálculo da fase
(passo a passo, com atenção ao valor principal e ao “desenrolamento”).
Definição: se
com
, então o argumento (fase) é
(único até múltiplos de
). Para nosso
,
Portanto um representante da fase é
Na prática, quando desenhamos a fase normalmente usamos:
- a fase “desenrolada” (unwrapped):
, uma reta em função de com inclinação e intercepto ; - a fase “principal” (wrapped) reduzida ao intervalo
(ou dependendo da convenção): aí a reta será recortada e aparecerá como um padrão dente-de-serra, porque sempre subtraímos/ somamos múltiplos de para manter o valor no intervalo escolhido.
Exemplos numéricos rápidos para fixar a cabeça:
- Em
: rad (que, se quisermos o valor principal em , equivale a rad). - Em
: rad. - Em
: rad (que no principal seria rad).
Passo 6
Como seriam os diagramas (instruções para desenhar e interpretação; positivo/negativo da frequência incluídos).
Diagrama de módulo:
- Traçar o eixo horizontal
cobrindo frequências negativas e positivas. - Traçar uma linha horizontal em
para todo . - É uma constante, sem nenhuma variação com
.
Diagrama de fase (duas opções, ambas válidas — saiba qual seu professor pede):
- Fase desenrolada (unwrapped):
- Desenhe a reta
. - É uma linha com inclinação
que cruza o eixo em (ali a fase é zero). - Essa reta vale para
positivo e negativo igualmente (linha contínua atravessando ambos os lados).
- Desenhe a reta
- Fase principal (wrapped para
): - Pegue a reta
e reduza cada valor por múltiplos de para ficar em . - O gráfico resultante é um padrão dente-de-serra (sawtooth) com declive local negativo e saltos de
nos pontos onde a reta cruza o limite do intervalo principal. - Ainda válido para frequências negativas e positivas; os saltos ocorrem periodicamente ao longo do eixo
.
- Pegue a reta
Dica prática para a prova: se pedirem simplesmente “diagrama de fase”, pergunte (ou suponha) se querem a fase principal (mais comum em engenharia) ou a fase desenrolada. Se não der tempo, desenhe a reta desenrolada e desenhe também como seria o recorte em
mostrando um salto — isso costuma agradar o corretor.