Considere os sinais abaixo. Calcule a Transformada de Fourier (TF), construa os diagramas de módulo e fase em função da frequência. Considere frequência positiva e negativa.
f(t)=e^{(1+2 j) t} \delta(t-8)

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
Temos o sinal
f(t)=e^{(1+2 j)t}\,\delta(t-8).
O que o enunciado pede:
  • Calcular a Transformada de Fourier F(\omega) desse sinal.
  • Construir o diagrama de módulo |F(\omega)| em função da frequência (considerando \omega positiva e negativa).
  • Construir o diagrama de fase \angle F(\omega) em função da frequência (considerando \omega positiva e negativa).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função contém um fator exponencial e^{(1+2 j)t} multiplicado por um impulso de Dirac \delta(t-8).
  • O impulso está deslocado em t=8.

Passo 2

Definição da Transformada de Fourier e propriedade do delta (aula rápida e aplicada).
Definição usada (forma padrão):
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Aqui:
  • \omega é a frequência angular (variando em \mathbb{R}), a variável independente do domínio da TF.
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1).
  • f(t) é o sinal no tempo e F(\omega) é a TF no domínio da frequência.
Propriedade do impulso (sifting property) — passa a vida do exame:
Se g(t) for uma função suficientemente bem comportada e t_0 um ponto real, então
\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,\delta(t-t_0)\,dt = g(t_0).
Ou seja, o impulso “amostra” a função no ponto onde está centrado. Essa propriedade é a chave aqui porque nosso f(t) é um produto de uma função suave por um delta deslocado.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso sinal (passo a passo da conta).
Começamos da definição:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{(1+2 j)t}\,\delta(t-8)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Reagrupando os fatores que dependem de t:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \bigl(e^{(1+2 j)t} e^{-j\omega t}\bigr)\,\delta(t-8)\,dt.
Agora usamos a propriedade do delta: a integral é o integrando avaliado em t=8. Logo,
F(\omega)=e^{(1+2 j)\cdot 8}\;e^{-j\omega\cdot 8}.
Vamos simplificar o fator exponencial complexo: (1+2j)\cdot 8 = 8 + 16j. Assim
F(\omega)=e^{8+16j}\;e^{-j8\omega}.
Separando a parte real do expoente e a parte puramente imaginária, podemos escrever de formas equivalentes úteis:
F(\omega)=e^{8}\;e^{j(16-8\omega)}
ou
F(\omega)=e^{8}\;e^{-j8(\omega-2)}.
Ambas são a mesma função, apenas escritas de maneiras ligeiramente diferentes — escolha a que você achar mais confortável para desenhar os diagramas.

Passo 4

Cálculo do módulo |F(\omega)| (passo a passo, com explicação de conceitos).
Definição: para um número complexo z=re^{j\theta} (com r\ge 0 e \theta real), o módulo é |z|=r. No nosso caso,
F(\omega)=e^{8}\;e^{j(16-8\omega)}.
O fator e^{8} é real e positivo. O fator e^{j(16-8\omega)} tem módulo 1 porque |e^{j\varphi}|=1 para qualquer \varphi\in\mathbb{R}. Portanto
|F(\omega)| = e^{8}\cdot 1 = e^{8}.
Observações importantes (úteis na prova):
  • O módulo não depende de \omega: é constante para frequências positivas e negativas.
  • Em termos práticos, o diagrama de módulo é uma linha horizontal constante em e^{8} para todo \omega\in\mathbb{R}.

Passo 5

Cálculo da fase \angle F(\omega) (passo a passo, com atenção ao valor principal e ao “desenrolamento”).
Definição: se z=re^{j\theta} com r>0, então o argumento (fase) é \angle z=\theta (único até múltiplos de 2\pi). Para nosso F(\omega),
F(\omega)=e^{8}\;e^{j(16-8\omega)}.
Portanto um representante da fase é
\angle F(\omega) = 16 - 8\omega + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Na prática, quando desenhamos a fase normalmente usamos:
  • a fase “desenrolada” (unwrapped): \angle F(\omega)=16-8\omega, uma reta em função de \omega com inclinação -8 e intercepto 16;
  • a fase “principal” (wrapped) reduzida ao intervalo (-\pi,\pi] (ou [0,2\pi) dependendo da convenção): aí a reta será recortada e aparecerá como um padrão dente-de-serra, porque sempre subtraímos/ somamos múltiplos de 2\pi para manter o valor no intervalo escolhido.
Exemplos numéricos rápidos para fixar a cabeça:
  • Em \omega=0: \angle F(0)=16-0=16 rad (que, se quisermos o valor principal em (-\pi,\pi], equivale a 16-2\cdot 2\pi\approx -2{,}8496 rad).
  • Em \omega=2: \angle F(2)=16-16=0 rad.
  • Em \omega=4: \angle F(4)=16-32=-16 rad (que no principal seria -16+3\cdot 2\pi\approx -16+18{,}8496\approx 2{,}8496 rad).

Passo 6

Como seriam os diagramas (instruções para desenhar e interpretação; positivo/negativo da frequência incluídos).
Diagrama de módulo:
  • Traçar o eixo horizontal \omega cobrindo frequências negativas e positivas.
  • Traçar uma linha horizontal em |F(\omega)|=e^{8} para todo \omega.
  • É uma constante, sem nenhuma variação com \omega.
Diagrama de fase (duas opções, ambas válidas — saiba qual seu professor pede):
  1. Fase desenrolada (unwrapped):
    • Desenhe a reta \angle F(\omega)=16-8\omega.
    • É uma linha com inclinação -8 que cruza o eixo \omega em \omega=2 (ali a fase é zero).
    • Essa reta vale para \omega positivo e negativo igualmente (linha contínua atravessando ambos os lados).
  2. Fase principal (wrapped para (-\pi,\pi]):
    • Pegue a reta \angle F(\omega)=16-8\omega e reduza cada valor por múltiplos de 2\pi para ficar em (-\pi,\pi].
    • O gráfico resultante é um padrão dente-de-serra (sawtooth) com declive local negativo e saltos de 2\pi nos pontos onde a reta cruza o limite do intervalo principal.
    • Ainda válido para frequências negativas e positivas; os saltos ocorrem periodicamente ao longo do eixo \omega.
Dica prática para a prova: se pedirem simplesmente “diagrama de fase”, pergunte (ou suponha) se querem a fase principal (mais comum em engenharia) ou a fase desenrolada. Se não der tempo, desenhe a reta desenrolada e desenhe também como seria o recorte em (-\pi,\pi] mostrando um salto — isso costuma agradar o corretor.

Resposta

F(\omega)=e^{8}\;e^{j(16-8\omega)} = e^{8}\;e^{-j8(\omega-2)}
|F(\omega)|=e^{8} para todo \omega\in\mathbb{R}
\angle F(\omega)=16-8\omega\quad(\text{mod }2\pi)

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