Considere os sinais abaixo. Calcule a Transformada de Fourier (TF), construa os diagramas de módulo e fase em função da frequência. Considere frequência positiva e negativa.
f(t)=\delta(t-8)

Passo 1

O enunciado dá o sinal temporal \displaystyle f(t)=\delta(t-8) e pede:
  • Calcular a Transformada de Fourier (TF) do sinal (em função da frequência).
  • Construir os diagramas de módulo e de fase em função da frequência, considerando frequências positivas e negativas.
Informações relevantes fornecidas:
  • O sinal é um impulso unitário deslocado no tempo em t=8.
  • Não foi especificada se a frequência deve ser usada como frequência angular \omega (rad/s) ou frequência em Hz f. Vou apresentar ambas as convenções (com \omega e com f) para ficar completo.

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (aula rápida e necessária):
  • A Transformada de Fourier (convenção angular) de um sinal x(t) é
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
onde \omega é a frequência angular (rad/s) e j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Essa integral transforma o sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência.
  • A propriedade do impulso deslocado: para qualquer função bem-comportada g(t) e qualquer a,
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-a)\,g(t)\,dt = g(a).
Isto significa que o delta “amostra” a função g no ponto t=a. Essa propriedade é a chave para resolver o problema de forma direta e rápida.

Passo 3

Aplicando a definição da TF ao nosso sinal usando a propriedade do delta:
\begin{aligned} F(\omega) &=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-8)\,e^{-j\omega t}\,dt \\\ &= e^{-j\omega \cdot 8}. \end{aligned}
Explicação passo a passo: na integral, g(t)=e^{-j\omega t} e a=8; a integral reduz-se a g(8)=e^{-j\omega\cdot 8}. Portanto a TF (na convenção angular) é \displaystyle F(\omega)=e^{-j8\omega}.

Passo 4

Forma alternativa usando frequência em Hz: se usarmos a variável f (Hz), lembramos que \omega=2\pi f. Substituindo:
F(f)=e^{-j(2\pi f)8}=e^{-j16\pi f}.
Isto é a mesma transformada escrita em função de f; escolha a que o seu professor usar na prova.

Passo 5

Expressão em termos de partes real e imaginária (Euler) — para entender módulo e fase:
e^{-j8\omega}=\cos(8\omega)-j\sin(8\omega).
Aqui \cos(8\omega) é a parte real e -\sin(8\omega) é a parte imaginária. Mostrar isso ajuda a extrair módulo e fase.

Passo 6

Cálculo do módulo (amplitude) como função da frequência:
  • O módulo de um número complexo a+jb é \sqrt{a^2+b^2}.
  • Aplicando a e^{-j8\omega}=\cos(8\omega)-j\sin(8\omega),
\begin{aligned} |F(\omega)| &= \sqrt{\cos^2(8\omega)+\bigl(-\sin(8\omega)\bigr)^2} \\\ &= \sqrt{\cos^2(8\omega)+\sin^2(8\omega)} \\\ &= 1. \end{aligned}
Conclusão didática: o módulo é constante igual a 1 para toda frequência \omega, inclusive para \omega<0. Intuição física: um impulso deslocado tem ganho unitário em todas as frequências; o deslocamento só altera a fase.

Passo 7

Cálculo da fase como função da frequência:
  • A fase (argumento) de e^{-j8\omega} é simplesmente o expoente real multiplicado por j, ou seja
\arg\bigl(F(\omega)\bigr) = -8\omega.
  • Observação importantíssima sobre a fase prática: a fase está definida módulo 2\pi. Ou seja, a expressão -8\omega é a fase contínua; quando plotamos em [- \pi, \pi] (fase principal) veremos “saltos” (wrapping) sempre que -8\omega ultrapassa os limites do intervalo principal. Na prática para esboçar, você pode desenhar a reta -8\omega e lembrar que o gráfico “salta” verticalmente por 2\pi sempre que sair do intervalo principal.

Passo 8

Comportamento para frequências positivas e negativas (interpretação):
  • Para \omega>0: \arg(F(\omega))=-8\omega é negativo e decresce linearmente com \omega (reta com declive -8).
  • Para \omega<0: \arg(F(\omega))=-8\omega é positivo (porque \omega é negativo) e cresce linearmente quando |\omega| aumenta.
  • O módulo permanece 1 em ambos os lados (positivos e negativos).
  • Se preferir em Hz: \arg(F(f))=-16\pi f, reta de declive -16\pi em função de f.

Passo 9

Como esboçar os diagramas (passo a passo para a prova):
  • Diagrama do módulo |F(\omega)|:
    • Eixo horizontal: \omega (pode marcar negativo e positivo).
    • Eixo vertical: |F(\omega)|.
    • Trace uma linha horizontal em |F(\omega)|=1 para todo \omega.
  • Diagrama da fase \arg(F(\omega)):
    • Primeiro trace a reta contínua \varphi(\omega)=-8\omega (reta passando por (0,0) com declive -8).
    • Se pedir fase principal, replique essa reta mas “enrole” (wrap) os trechos para manter valores no intervalo desejado (por exemplo (-\pi,\pi]), o que transforma a reta num traçado tipo serra com saltos de 2\pi a cada vez que -8\omega atravessa \pm\pi. A distância entre saltos em \omega é \Delta\omega=\frac{\pi}{8}.
  • Dica prática: desenhe a reta sem wrapping primeiro (mostra claramente que é uma fase linear, proporcional a -t_0 com t_0=8), depois aplique o wrapping se necessário.

Passo 10

Interpretação física curta e incentivo:
  • Em geral, um deslocamento no tempo por t_0 gera um fator de fase e^{-j\omega t_0} na frequência — isto é, atraso em tempo = fase linear em frequência. Aqui t_0=8.
  • Você já tem os elementos essenciais para a prova: expressão da TF, módulo constante e fase linear (com comportamento de wrapping). Vai conseguir desenhar e justificar facilmente na hora!

Resposta

\displaystyle F(\omega)=e^{-j8\omega}\n
\displaystyle F(f)=e^{-j16\pi f}\n
\displaystyle |F(\omega)|=1\quad\text{para todo }\omega\n
\displaystyle \arg(F(\omega))=-8\omega\quad(\text{fase contínua, definida modulo }2\pi)í

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