Considere os sinais abaixo. Calcule a Transformada de Fourier (TF), construa os diagramas de módulo e fase em função da frequência. Considere frequência positiva e negativa.
Passo 1
O enunciado dá o sinal temporal
e pede:
- Calcular a Transformada de Fourier (TF) do sinal (em função da frequência).
- Construir os diagramas de módulo e de fase em função da frequência, considerando frequências positivas e negativas.
Informações relevantes fornecidas:
- O sinal é um impulso unitário deslocado no tempo em
. - Não foi especificada se a frequência deve ser usada como frequência angular
(rad/s) ou frequência em Hz . Vou apresentar ambas as convenções (com e com ) para ficar completo.
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (aula rápida e necessária):
- A Transformada de Fourier (convenção angular) de um sinal
é
onde
é a frequência angular (rad/s) e
é a unidade imaginária (
). Essa integral transforma o sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência.
- A propriedade do impulso deslocado: para qualquer função bem-comportada
e qualquer ,
Isto significa que o delta “amostra” a função
no ponto
. Essa propriedade é a chave para resolver o problema de forma direta e rápida.
Passo 3
Aplicando a definição da TF ao nosso sinal usando a propriedade do delta:
Explicação passo a passo: na integral,
e
; a integral reduz-se a
. Portanto a TF (na convenção angular) é
Passo 4
Forma alternativa usando frequência em Hz: se usarmos a variável
(Hz), lembramos que
. Substituindo:
Isto é a mesma transformada escrita em função de
; escolha a que o seu professor usar na prova.
Passo 5
Expressão em termos de partes real e imaginária (Euler) — para entender módulo e fase:
Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária. Mostrar isso ajuda a extrair módulo e fase.
Passo 6
Cálculo do módulo (amplitude) como função da frequência:
- O módulo de um número complexo
é . - Aplicando a
,
Conclusão didática: o módulo é constante igual a
para toda frequência
, inclusive para
. Intuição física: um impulso deslocado tem ganho unitário em todas as frequências; o deslocamento só altera a fase.
Passo 7
Cálculo da fase como função da frequência:
- A fase (argumento) de
é simplesmente o expoente real multiplicado por , ou seja
- Observação importantíssima sobre a fase prática: a fase está definida módulo
. Ou seja, a expressão é a fase contínua; quando plotamos em [- , ] (fase principal) veremos “saltos” (wrapping) sempre que ultrapassa os limites do intervalo principal. Na prática para esboçar, você pode desenhar a reta e lembrar que o gráfico “salta” verticalmente por sempre que sair do intervalo principal.
Passo 8
Comportamento para frequências positivas e negativas (interpretação):
- Para
: é negativo e decresce linearmente com (reta com declive ). - Para
: é positivo (porque é negativo) e cresce linearmente quando aumenta. - O módulo permanece
em ambos os lados (positivos e negativos). - Se preferir em Hz:
, reta de declive em função de .
Passo 9
Como esboçar os diagramas (passo a passo para a prova):
- Diagrama do módulo
: - Eixo horizontal:
(pode marcar negativo e positivo). - Eixo vertical:
. - Trace uma linha horizontal em
para todo .
- Eixo horizontal:
- Diagrama da fase
: - Primeiro trace a reta contínua
(reta passando por com declive ). - Se pedir fase principal, replique essa reta mas “enrole” (wrap) os trechos para manter valores no intervalo desejado (por exemplo
), o que transforma a reta num traçado tipo serra com saltos de a cada vez que atravessa . A distância entre saltos em é .
- Primeiro trace a reta contínua
- Dica prática: desenhe a reta sem wrapping primeiro (mostra claramente que é uma fase linear, proporcional a
com ), depois aplique o wrapping se necessário.
Passo 10
Interpretação física curta e incentivo:
- Em geral, um deslocamento no tempo por
gera um fator de fase na frequência — isto é, atraso em tempo = fase linear em frequência. Aqui . - Você já tem os elementos essenciais para a prova: expressão da TF, módulo constante e fase linear (com comportamento de wrapping). Vai conseguir desenhar e justificar facilmente na hora!