Considere um sinal aleatório modelado por um processo aleatório estacionário
com função de autocorrelação dada por
Este sinal é colocado na entrada de um sistema LIT com resposta impulsiva
. Determine a densidade espectral de potência de
, o processo aleatório que modela o sinal na saída do sistema. Considere os casos
e
separadamente.
Passo 1
Beleza, aqui o que o enunciado está pedindo é: a gente tem um processo estacionário
cuja autocorrelação é
e esse sinal entra num sistema LTI com resposta ao impulso
A gente quer achar a densidade espectral de potência (PSD) de saída
, ou seja,
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Transformada de Fourier de correlação (para achar
), - Função de transferência
do sistema, - Propriedade
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a PSD
é a transformada de Fourier da autocorrelação
.
A fórmula clássica é
A fórmula clássica é
Como
, conhecemos que
Logo,
Passo 3
Agora vamos achar a função de transferência
.
Por definição,
Por definição,
Então
Passo 4
A propriedade fundamental para sistemas LTI e processos estacionários é
Substituindo o que já temos:
Passo 5
Falta só escrever essa expressão nos dois casos que o enunciado pede:
- Caso
: usamos frações parciais
- Caso
: aí o denominador fica quadrado
Resposta
Para o processo de saída
, a densidade espectral de potência é
que se detalha em:
- Se
: - Se
: