Considere um sinal aleatório modelado por um processo aleatório estacionário X(t) com função de autocorrelação dada por
RX(tau)=e^-alpha|tau|, alpha>0
Este sinal é colocado na entrada de um sistema LIT com resposta impulsiva h(t)=e^-beta t u(t), beta>0. Determine a densidade espectral de potência de Y(t), o processo aleatório que modela o sinal na saída do sistema. Considere os casos alpha=beta e alpha neq beta separadamente.

Passo 1

Beleza, aqui o que o enunciado está pedindo é: a gente tem um processo estacionário RX(tau) = e^-alpha|tau|,;alpha>0, cuja autocorrelação é
h(t)=e^-beta tu(t),;beta>0
e esse sinal entra num sistema LTI com resposta ao impulso
A gente quer achar a densidade espectral de potência (PSD) de saída , ou seja, .
Conteúdo envolvido:
  • Transformada de Fourier de correlação (para achar ),
  • Função de transferência do sistema,
  • Propriedade .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a PSD SX(omega)=integral-infty^+infty RX(tau),e^-jomegatau,dtau é a transformada de Fourier da autocorrelação integral-infty^+infty e^-alpha|tau|e^-jomegataudtau = 2alphaalpha^2+omega^2 .
A fórmula clássica é
boxedSX(omega)=2alphaalpha^2+omega^2
Como , conhecemos que
Logo,

Passo 3

Agora vamos achar a função de transferência H(omega)=integral-infty^+inftyh(t)e^-jomega tdt =integral0^inftye^-beta te^-jomega tdt =1beta+jomega .
Por definição,
|H(omega)|^2=1(beta+jomega)(beta-jomega) =1beta^2+omega^2
Então

Passo 4

A propriedade fundamental para sistemas LTI e processos estacionários é
boxedSY(omega)=|H(omega)|^2,SX(omega)
Substituindo o que já temos:
SY(omega) =1beta^2+omega^2;cdot;2alphaalpha^2+omega^2 =2alpha(alpha^2+omega^2)(beta^2+omega^2)

Passo 5

Falta só escrever essa expressão nos dois casos que o enunciado pede:
  1. Caso 2alpha(alpha^2+omega^2)(beta^2+omega^2) =2alphabeta^2-alpha^2l( 1alpha^2+omega^2 -1beta^2+omega^2 r) : usamos frações parciais
2alpha(alpha^2+omega^2)^2
  1. Caso : aí o denominador fica quadrado

Resposta

Para o processo de saída boxed SY(omega)=2alpha(alpha^2+omega^2)(beta^2+omega^2), , a densidade espectral de potência é
SY(omega) =2alphabeta^2-alpha^2l(1alpha^2+omega^2 -1beta^2+omega^2r)
que se detalha em:
  • Se SY(omega)=2alpha(alpha^2+omega^2)^2 :
  • Se :

Exercícios relacionados