Seja X(t) um processo estacionário no sentido amplo Gaussiano de média zero e função de autocorrelação RX(tau)=e^-pi tau^2. Uma função amostra deste processo é o sinal de entrada de um sistema LIT com função de transferência dada por,
|H(f)|=e^-32 pi f^2
Seja Y(t) o processo estocástico que representa o sinal na saída do sistema. Determine:
a) E[Y(t)];
b) RY(tau);
c) A potência média do sinal de saída do sistema.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um processo Gaussiano estacionário de média zero, RX(tau)=e^-pitau^2, , cuja autocorrelação é
|H(f)|=e^-tfrac32pi f^2,,
Esse sinal entra num sistema LIT (linear e invariante no tempo) com módulo da resposta em frequência
e sai como o processo . A gente precisa achar:
a) a média ;
b) a função de autocorrelação ;
c) a potência média de .
Conteúdo que vamos usar:
  • Propriedade de média em sistemas LIT;
  • Teorema de Wiener–Khinchine (autocorrelação ↔ densidade espectral de potência via transformada de Fourier);
  • Filtragem no domínio de frequência: ;
  • Fórmulas de transformada de Fourier de gaussianas.

Passo 2

(a) Média de E[Y(t)] ;=; integral-infty^inftyh(u),E[X(t-u)],du
Como o sistema é linear e invariante, e boxedE[Y(t)]=0 , vale
Mas , já que o processo de entrada tem média zero. Logo

Passo 3

(b) Densidade espectral de potência e filtragem
  1. Primeiro, a densidade espectral de potência de SX(f);=;Fe^-pitau^2 ;=;integral-infty^inftye^-pitau^2e^-j2pi ftaudtau ;=;e^-pi f^2, é a transformada de SY(f)=|H(f)|^2,SX(f) =e^-tfrac32pi f^2;cdot;e^-tfrac32pi f^2;cdot;e^-pi f^2 ;=;e^-3pi f^2,e^-pi f^2 ;=;e^-4pi f^2, :
(é uma propriedade clássica de transformada de Gaussianas.)
  1. Num sistema LIT, a densidade de saída é

Passo 4

© Função de autocorrelação RY(tau) =integral-infty^inftye^-4pi f^2,e^j2pi ftau,df
Agora aplicamos a transformada inversa em integral e^-a f^2e^j2pi ftaudf =raizpia;e^-(,2pitau)^24a :
raizpi4pi;exp!(-4pi^2tau^24cdot4pi) =12;exp!(-pitau^24),
Novamente é uma integral de Gaussiana com termo boxedRY(tau)=12,e^-tfracpitau^24, . O resultado padrão é
com . Substituindo:
Logo

Passo 5

(d) Potência média de PY = RY(0)=12,e^-tfracpicdot0^24 =12,
A potência média de um processo estacionário é . Então

Resposta

a)
b)
c) Potência média

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