Seja
um processo estacionário no sentido amplo Gaussiano de média zero e função de autocorrelação
. Uma função amostra deste processo é o sinal de entrada de um sistema LIT com função de transferência dada por,
Seja
o processo estocástico que representa o sinal na saída do sistema. Determine:
a)
;
b)
;
c) A potência média do sinal de saída do sistema.
a)
b)
c) A potência média do sinal de saída do sistema.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um processo Gaussiano estacionário de média zero,
, cuja autocorrelação é
Esse sinal entra num sistema LIT (linear e invariante no tempo) com módulo da resposta em frequência
e sai como o processo
. A gente precisa achar:
a) a média ;
b) a função de autocorrelação ;
c) a potência média de .
a) a média
b) a função de autocorrelação
c) a potência média de
Conteúdo que vamos usar:
- Propriedade de média em sistemas LIT;
- Teorema de Wiener–Khinchine (autocorrelação ↔ densidade espectral de potência via transformada de Fourier);
- Filtragem no domínio de frequência:
; - Fórmulas de transformada de Fourier de gaussianas.
Passo 2
(a) Média de
Como o sistema é linear e invariante, e , vale
Como o sistema é linear e invariante, e
Mas
, já que o processo de entrada tem média zero. Logo
Passo 3
(b) Densidade espectral de potência e filtragem
- Primeiro, a densidade espectral de potência de
é a transformada de :
(é uma propriedade clássica de transformada de Gaussianas.)
- Num sistema LIT, a densidade de saída é
Passo 4
© Função de autocorrelação
Agora aplicamos a transformada inversa em :
Agora aplicamos a transformada inversa em
Novamente é uma integral de Gaussiana com termo
. O resultado padrão é
com
. Substituindo:
Logo
Passo 5
(d) Potência média de
A potência média de um processo estacionário é . Então
A potência média de um processo estacionário é
Resposta
a)
b)
c) Potência média
b)
c) Potência média