Seja o processo aleatório X(t)=A+B t onde A e B são duas variáveis aleatórias independentes uniformemente distribuídas no intervalo [-1,1] Volts.
(a) Determine muX(t), o valor esperado do processo X(t).
(b) Determine a função de autocorrelação X(t).
© É um processo estacionário no sentido amplo?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e quais definições da teoria a gente vai precisar.
Enunciado em poucas palavras: temos um processo aleatório
,
onde e são independentes e têm distribuição uniforme em .
Precisamos encontrar:
a) O valor esperado .
b) A função de autocorrelação .
c) Dizer se é estacionário no sentido amplo (WSS).
Conteúdo principal:
  • Esperança de variáveis aleatórias (linearidade do ).
  • Cálculo de autocorrelação usando independência de e .
  • Definição de estacionariedade no sentido amplo:
    · Ter média constante (independente de ).
    · Ter autocorrelação que dependa só de .

Passo 2

Calcular muX(t)=E[A + B,t] =E[A] + t,E[B] .
Por definição,
E[A]=0, E[B]=0
Como muX(t)=0 + tcdot 0 = 0 e são Uniformes em , a média de cada uma é zero:
Então

Passo 3

Calcular a autocorrelação
RX(t1,t2)=El[X(t1),X(t2)r] =El[(A + B,t1),(A + B,t2)r]
Expandindo o produto:
(A + B,t1)(A + B,t2) = A^2 + A,B,t2 + A,B,t1 + B^2,t1,t2
Como RX(t1,t2) =E[A^2] + t1,t2,E[B^2] e E[A^2]=E[B^2]=integral-1^1x^22,dx =12,x^33|-1^1 =13 são independentes, RX(t1,t2) =13 + t1,t2,13 =1 + t1,t23 . Portanto os dois termos mistos somem zero em média.
Fica:
Para uma variável uniforme em ,
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Passo 4

Verificar estacionariedade no sentido amplo.
Condições WSS:
  1. constante em . Aqui , beleza, é constante.
  2. deve depender apenas de .
    Nosso depende dos valores absolutos de e , não só da diferença .
Portanto, a autocorrelação não é função só de , e o processo não é estacionário no sentido amplo.

Resposta

(a) .
(b)
© Não, não é estacionário no sentido amplo.

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