Um sistema LIT causal e estável tem função de transferência dada por
H(f)=j 2 pi f+46-(2 pi f)^2+5 j 2 pi f
a) Encontre a resposta impulsiva do sistema;
b) Determine o sinal na saída do sistema quando a entrada é dada por
x(t)=e^-4 t u(t)-t e^-4 t u(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado diz que temos um sistema LTI causal e estável cuja função de transferência (no domínio da frequência) é
H(f)=j,2pi f+46-(2pi f)^2+5,j,2pi f,
Precisamos achar:
a) a resposta ao impulso x(t)=e^-4tu(t)-t,e^-4tu(t), (invertendo essa função de transferência);
b) a saída quando a entrada é
Conteúdo envolvido: transformada de Fourier (ou Laplace), decomposição em frações parciais e a propriedade de convolução (ou multiplicação de transformadas). Não damos nada como certo, mostramos cada passinho.

Passo 2

Primeiro, achemos H(f)=jomega+46-omega^2+5jomega =s+46+5s+s^2onde s=jomega a partir de H(s)=s+4(s+2)(s+3) . Note que, se definirmos s+4(s+2)(s+3) =As+2+Bs+3 Longrightarrow A+B=1,;3A+2B=4 , então
H(s)=2s+2-1s+3
Repara que e^-atu(t);long<=ftrightarrow;1a+j2pi f (Rea>0) . Assim
2s+2;long<=ftrightarrow;2,e^-2tu(t), -1s+3;long<=ftrightarrow;-e^-3tu(t)
Fazendo frações parciais:
boxedh(t)=2,e^-2tu(t);-;e^-3tu(t)
. Logo
Na transformada de Fourier (FM do tipo ), vale o par
Comparando, reconhecemos
Logo

Passo 3

Agora a saída x(t)=e^-4tu(t)-t,e^-4tu(t) ;long<=ftrightarrow; X(s)=1s+4-1(s+4)^2 . Em vez de fazer a integral de convolução na mão, vamos usar Laplace (mesma ideia de tratar Y(s)=H(s),X(s) =s+4(s+2)(s+3)l(1s+4-1(s+4)^2r) =1(s+2)(s+3)-1(s+2)(s+3)(s+4) , mas aqui só para facilitar a conta).
  1. Laplace de 1(s+2)(s+3)=1s+2-1s+3, 1(s+2)(s+3)(s+4)=121s+2-1s+3+121s+4 :
Y(s)=12,1s+2-12,1s+4
  1. Já temos boxedy(t)=12,e^-2tu(t);-;12,e^-4tu(t) .
  2. Então
  1. Decompondo cada parte em frações parciais (pulando só a álgebra chata):
Subtraindo dá
  1. Voltando ao tempo, usamos
    :

Resposta

a) .
b) .

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