Considere que um sinal contínuo m(t) é quantizado por um coversor A/D limitado pelas amplitudes entre -2 e 2 e quantização Mid-Rise com resolução de R=5 bits.
(a) Obtenha a função quantização m_{Q}[n].
(b) Quantize os dois valores amostrados m[n]=\{0,5 \quad 1,3\} e recupere o valor quantizado m_{q}[n] usando as duas funções da letra (a) e obtenha a distorção de quantização. R: \sigma_{Q}^{2}=0,00203.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
É dado um conversor A/D limitado entre -2 e 2 e com quantização do tipo Mid‑Rise.
A resolução é R=5 bits.
(a) Pede-se obter a função de quantização m_{Q}[n] (ou seja, a regra que associa a cada amostra m[n] o nível quantizado).
(b) Pede-se quantizar as duas amostras m[n]=\{0,5\quad 1,3\} (ou seja, m[1]=0,5 e m[2]=1,3), recuperar os valores quantizados m_{q}[n] usando as funções da letra (a) e calcular a distorção de quantização \sigma_{Q}^{2}.
Informações extraídas dos dados:
Número de níveis L=2^{R}=2^{5}=32.
Faixa do conversor: de -2 até 2.
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas (explicação didática do que é um quantizador uniforme Mid‑Rise):
Um quantizador uniforme divide a faixa de entrada em L intervalos iguais, cada um de largura (passo) \Delta.
O passo \Delta é dado por:
\Delta=\frac{V_{\max}-V_{\min}}{L}.
Aqui V_{\max}=2 e V_{\min}=-2, logo a largura total é 4 e
\Delta=\frac{4}{32}=0,125.
No quantizador Mid‑Rise os limiares (thresholds) estão em múltiplos inteiros de \Delta: \;t_{k}=k\Delta\; para k=-\tfrac{L}{2},\ldots,\tfrac{L}{2}. Assim os limiares variam de -2 a 2 em passos de \Delta.
Os níveis de reconstrução (valores representativos) são deslocados de meia‑passo em relação aos limiares: o nível associado ao intervalo entre t_k e t_{k+1} é
y_k=\left(k+\tfrac{1}{2}\right)\Delta.
Interpretação prática: se a amostra m[n] cai no intervalo [k\Delta,\,(k+1)\Delta) então ela é representada pelo valor y_k. Isso garante que não exista um nível exatamente em zero (característica “mid‑rise”).
Observação sobre saturação: como o conversor é limitado a [-2,2], se m[n]\le -2 ou m[n]\ge 2 aplica‑se saturação (clipping) para o nível mais extremo (y_{\min}=-15{,}5\Delta=-1{,}9375 ou y_{\max}=+1{,}9375).
Passo 3
Expressão matemática da função de quantização (função de decisão + reconstrução), com explicação das variáveis:
Definir L=2^{R}\) e \(\Delta\) como acima.
- Para \(m[n]\) dentro da faixa \([-2,2)\) pode‑se escrever a regra usando a função piso (floor). Lembrando que \(\lfloor x\rfloor\) é o maior inteiro menor ou igual a \(x\).
- A função índice de intervalo é
\[k(m[n])=\left\lfloor\frac{m[n]}{\Delta}\right\rfloor,\qquad k\in\{-16,\ldots,15\}.
Para m[n]\le -2 define‑se m_{Q}[n]= -1{,}9375 (saturação inferior) e para m[n]\ge 2 define‑se m_{Q}[n]=+1{,}9375 (saturação superior), pois os níveis extremos são \pm 15{,}5\Delta=\pm1{,}9375.
A precisão (distorção) depende fortemente do passo \Delta: passos menores reduzem \sigma_{Q}^{2} (aproximadamente proporcional a \Delta^{2} para quantização uniforme e sinal bem comportado).
Para quantizadores mid‑rise a fórmula prática para o nível quantizado é muito útil: basta dividir pela \Delta, tomar o piso e multiplicar por \Delta somando meia unidade de passo.
Dica: calcule sempre \Delta no início e verifique a saturação caso a amostra esteja na borda da faixa.