Considere que um sinal contínuo m(t) é quantizado por um coversor A/D limitado pelas amplitudes entre -2 e 2 e quantização Mid-Rise com resolução de R=5 bits.
(a) Obtenha a função quantização m_{Q}[n].
(b) Quantize os dois valores amostrados m[n]=\{0,5 \quad 1,3\} e recupere o valor quantizado m_{q}[n] usando as duas funções da letra (a) e obtenha a distorção de quantização. R: \sigma_{Q}^{2}=0,00203.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • É dado um conversor A/D limitado entre -2 e 2 e com quantização do tipo Mid‑Rise.
  • A resolução é R=5 bits.
  • (a) Pede-se obter a função de quantização m_{Q}[n] (ou seja, a regra que associa a cada amostra m[n] o nível quantizado).
  • (b) Pede-se quantizar as duas amostras m[n]=\{0,5\quad 1,3\} (ou seja, m[1]=0,5 e m[2]=1,3), recuperar os valores quantizados m_{q}[n] usando as funções da letra (a) e calcular a distorção de quantização \sigma_{Q}^{2}.
    Informações extraídas dos dados:
  • Número de níveis L=2^{R}=2^{5}=32.
  • Faixa do conversor: de -2 até 2.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas (explicação didática do que é um quantizador uniforme Mid‑Rise):
  • Um quantizador uniforme divide a faixa de entrada em L intervalos iguais, cada um de largura (passo) \Delta.
  • O passo \Delta é dado por:
\Delta=\frac{V_{\max}-V_{\min}}{L}.
Aqui V_{\max}=2 e V_{\min}=-2, logo a largura total é 4 e
\Delta=\frac{4}{32}=0,125.
  • No quantizador Mid‑Rise os limiares (thresholds) estão em múltiplos inteiros de \Delta: \;t_{k}=k\Delta\; para k=-\tfrac{L}{2},\ldots,\tfrac{L}{2}. Assim os limiares variam de -2 a 2 em passos de \Delta.
  • Os níveis de reconstrução (valores representativos) são deslocados de meia‑passo em relação aos limiares: o nível associado ao intervalo entre t_k e t_{k+1} é
y_k=\left(k+\tfrac{1}{2}\right)\Delta.
  • Interpretação prática: se a amostra m[n] cai no intervalo [k\Delta,\,(k+1)\Delta) então ela é representada pelo valor y_k. Isso garante que não exista um nível exatamente em zero (característica “mid‑rise”).
  • Observação sobre saturação: como o conversor é limitado a [-2,2], se m[n]\le -2 ou m[n]\ge 2 aplica‑se saturação (clipping) para o nível mais extremo ( y_{\min}=-15{,}5\Delta=-1{,}9375 ou y_{\max}=+1{,}9375).

Passo 3

Expressão matemática da função de quantização (função de decisão + reconstrução), com explicação das variáveis:
  • Definir L=2^{R}\) e \(\Delta\) como acima. - Para \(m[n]\) dentro da faixa \([-2,2)\) pode‑se escrever a regra usando a função piso (floor). Lembrando que \(\lfloor x\rfloor\) é o maior inteiro menor ou igual a \(x\). - A função índice de intervalo é \[k(m[n])=\left\lfloor\frac{m[n]}{\Delta}\right\rfloor,\qquad k\in\{-16,\ldots,15\}.
  • A função de reconstrução (valor quantizado) é
m_{Q}[n]=y_{k(m[n])}=\left(\left\lfloor\frac{m[n]}{\Delta}\right\rfloor+\tfrac{1}{2}\right)\Delta, \qquad\text{para }-2\le m[n]<2.
  • Para m[n]\le -2 define‑se m_{Q}[n]= -1{,}9375 (saturação inferior) e para m[n]\ge 2 define‑se m_{Q}[n]=+1{,}9375 (saturação superior), pois os níveis extremos são \pm 15{,}5\Delta=\pm1{,}9375.
  • Resumo compacto (a função pedida):
\boxed{\,m_{Q}[n]=\begin{cases} \left(\left\lfloor\dfrac{m[n]}{\Delta}\right\rfloor+\tfrac{1}{2}\right)\Delta, & -2\le m[n]<2,\\[6pt] -1{,}9375, & m[n]\le -2,\\[3pt] +1{,}9375, & m[n]\ge 2, \end{cases}\;}
com (\Delta=0{,}125].]

Passo 4

Aplicando a função aos dois valores m[1]=0,5 e m[2]=1,3 (passo a passo, contas simples sem pular etapas):
  • Calcular \dfrac{m[1]}{\Delta} e o piso:
\frac{0,5}{0,125}=4,\qquad \left\lfloor 4 \right\rfloor = 4.
Então
m_{Q}[1]=\left(4+\tfrac{1}{2}\right)\cdot 0{,}125=4{,}5\cdot 0{,}125=0{,}5625.
  • Calcular \dfrac{m[2]}{\Delta} e o piso:
\frac{1,3}{0,125}=10{,}4,\qquad \left\lfloor 10{,}4 \right\rfloor = 10.
Então
m_{Q}[2]=\left(10+\tfrac{1}{2}\right)\cdot 0{,}125=10{,}5\cdot 0{,}125=1{,}3125.
  • Portanto os valores quantizados (reconstruídos) são
m_{q}[n]=\{\,0{,}5625,\quad 1{,}3125\,\}.

Passo 5

Cálculo da distorção de quantização (erro quadrático médio sobre as duas amostras):
  • Definir o erro de quantização para cada amostra:
e[n]=m[n]-m_{q}[n].
  • Para n=1:
e[1]=0{,}5-0{,}5625=-0{,}0625,\qquad e[1]^{2}=(-0{,}0625)^{2}=0{,}00390625.
  • Para n=2:
e[2]=1{,}3-1{,}3125=-0{,}0125,\qquad e[2]^{2}=(-0{,}0125)^{2}=0{,}00015625.
  • O erro quadrático médio (distorção) para as duas amostras é
\sigma_{Q}^{2}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}e[n]^{2}=\frac{0{,}00390625+0{,}00015625}{2}=0{,}00203125.
  • Arredondando conforme o enunciado:
\sigma_{Q}^{2}\approx0{,}00203,
o que confere com a resposta esperada.

Passo 6

Breve interpretação e dica prática para prova:
  • A precisão (distorção) depende fortemente do passo \Delta: passos menores reduzem \sigma_{Q}^{2} (aproximadamente proporcional a \Delta^{2} para quantização uniforme e sinal bem comportado).
  • Para quantizadores mid‑rise a fórmula prática para o nível quantizado é muito útil: basta dividir pela \Delta, tomar o piso e multiplicar por \Delta somando meia unidade de passo.
  • Dica: calcule sempre \Delta no início e verifique a saturação caso a amostra esteja na borda da faixa.

Resposta

(a) \displaystyle m_{Q}[n]=\begin{cases} \left(\left\lfloor\dfrac{m[n]}{\Delta}\right\rfloor+\tfrac{1}{2}\right)\Delta, & -2\le m[n]<2,\\[6pt] -1{,}9375, & m[n]\le -2,\\[3pt] +1{,}9375, & m[n]\ge 2, \end{cases} com \Delta=0{,}125.
(b) m_{q}[n]=\{\,0{,}5625,\;1{,}3125\,\}
\sigma_{Q}^{2}=0{,}00203125\approx0{,}00203.]

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